Question

Помогите Определите экстремумы и интервалы монотонности функции: y=x^2-9/3x^2-1

Answer 1

Ответ:

В формуле y = x^2 - 9/(3x^2) - 1

Эктремумы: нет, монотонных интервалов (-∞, -√3) и (-√3, ∞).

Объяснение:

(-∞, -√3) - На этом интервале функция увеличивается.

(-√3, ∞) - На этом интервале функция также увеличивается.

На обоих интервалах функция продолжает увеличиваться.

Answer 2

Для определения экстремумов и интервалов монотонности функции y(x) = (x^2 - 9) / (3x^2 - 1), нам потребуется вычислить производные функции и анализировать их.

1. Найдем производную функции y(x) по x:

y'(x) = [(2x)(3x^2 - 1) - (x^2 - 9)(6x)] / (3x^2 - 1)^2

2. Теперь упростим y'(x):

y'(x) = (6x^3 - 2x - 6x^3 + 54x) / (3x^2 - 1)^2 y'(x) = (52x) / (3x^2 - 1)^2

3. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить экстремумы. Уравнение y'(x) = 0 будет иметь решение, если числитель равен нулю:

52x = 0 x = 0

Таким образом, у нас есть одна критическая точка при x = 0.

4. Теперь определим интервалы монотонности, используя тест знаков производной. Для этого выберем тестовые точки в каждом из трех интервалов:

I. x < -1 II. -1 < x < 0 III. x > 0

Выберем x = -2 для интервала I, x = -0.5 для интервала II и x = 1 для интервала III.

a) Для интервала I (x < -1): Подставим x = -2 в y'(x):

y'(-2) = (52(-2)) / (3(-2)^2 - 1)^2 = (-104) / (12 - 1)^2 = (-104) / (11^2) < 0

b) Для интервала II (-1 < x < 0): Подставим x = -0.5 в y'(x):

y'(-0.5) = (52(-0.5)) / (3(-0.5)^2 - 1)^2 = (-26) / (3/4 - 1)^2 = (-26) / (1/16) > 0

c) Для интервала III (x > 0): Подставим x = 1 в y'(x):

y'(1) = (52(1)) / (3(1)^2 - 1)^2 = 52 / (3 - 1)^2 = 52 / 4 > 0

Итак, теперь мы можем сделать выводы:

• В точке x = 0 есть локальный минимум, так как y'(x) меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через эту точку.
• На интервале (-1, 0) функция возрастает.
• На интервалах (-бесконечность, -1) и (0, +бесконечность) функция убывает.

Это определяет экстремумы и интервалы монотонности функции y(x).