Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(x) = x^2/(x^2+3)​

Answer 1

Ответ:

Для пошуку проміжків зростання та спадання функції потрібно визначити похідну функції і дослідити її знаки.

Обчислимо похідну функції:

f'(x) = (2x(x^2+3) - x^2(2x))/((x^2+3)^2) = 6x/(x^2+3)^2

Досліджуємо знаки похідної:

f'(x) = 0 при x = 0

f'(x) > 0 якщо x > 0 або x < 0

f'(x) < 0 якщо x > 0 або x < 0

З цього випливає що функція f(x) має мінімум при x = 0 та є монотонно зростаючою на проміжку (-безкінечність 0) і на проміжку (0 +безкінечність). Відповідно функція f(x) має проміжки зростання на цих інтервалах. На всьому проміжку (-безкінечність +безкінечність) функція f(x) є обмеженою сверху (максимальне значення функції дорівнює 1) і не має точок перегину тому має проміжки спадання на всьому цьому інтервалі.

Отже проміжки зростання функції f(x) - (-безкінечність 0) і (0 +безкінечність а проміжки спадання - на всьому інтервалі (-безкінечність +безкінечність).

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції $f(x) = \frac{x^2}{x^2+3}$, спочатку треба знайти похідну цієї функції і визначити, де вона дорівнює нулю або не існує.

1. Обчислимо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x^2+3}\right)$

   Для цього використовуємо правило диференціювання частки: $f'(x) = \frac{(x^2+3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - x^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3)}{(x^2+3)^2}$

   Тепер обчислимо похідні: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ $\frac{d}{dx}(x^2+3) = 2x$

   Підставимо їх у вираз для $f'(x)$: $f'(x) = \frac{(x^2+3) \cdot 2x - x^2 \cdot 2x}{(x^2+3)^2}$

   Спростимо цей вираз: $f'(x) = \frac{2x(x^2+3) - 2x^3}{(x^2+3)^2}$ $f'(x) = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3}{(x^2+3)^2}$ $f'(x) = \frac{6x}{(x^2+3)^2}$

2. Тепер знайдемо точки, де $f'(x) = 0$: $6x = 0$ $x = 0$

3. Тепер дослідимо знак похідної $f'(x)$ в околиці точки $x = 0$, щоб визначити проміжки зростання і спадання:

   • Якщо $f'(x) > 0$ для $x$ в околиці $x = 0$, то $f(x)$ зростає на цьому проміжку.
   • Якщо $f'(x) < 0$ для $x$ в околиці $x = 0$, то $f(x)$ спадає на цьому проміжку.

Підставимо деякі значення $x$ навколо $x = 0$ у $f'(x)$ і визначимо їхні знаки:

• Для $x = -1$, $f'(-1) = \frac{6(-1)}{((-1)^2+3)^2} = \frac{-6}{(1+3)^2} = \frac{-6}{16} < 0$.
• Для $x = 1$, $f'(1) = \frac{6(1)}{(1^2+3)^2} = \frac{6}{(1+3)^2} = \frac{6}{16} > 0$