Question

Знайдіть площу фігури обмеженої параболою y=2x-x^2 , прямою y= 1 і віссю ординат с графиком!​

Answer 1

Ответ: S=1/3

Пошаговое объяснение:

см файл

Answer 2

Щоб знайти площу фігури обмеженої параболою $y = 2x - x^2$, прямою $y = 1$ і віссю ординат, спочатку треба знайти точки перетину цих функцій. Тоді можна знайти площу обмеженої фігури, взягши інтеграл від $y = 2x - x^2$ до $y = 1$.

1. Знайдемо точки перетину параболи $y = 2x - x^2$ і прямої $y = 1$:

Для цього розв'яжемо рівняння: $2x - x^2 = 1.$

Розкладемо це рівняння на квадратичний зріз та знайдемо корені: $x^2 - 2x + 1 = 0.$

Розв'яжемо це квадратне рівняння: $x = 1.$

Таким чином, точка перетину параболи і прямої - $x = 1$.

2. Тепер знайдемо площу обмеженої фігури, взягши інтеграл від $y = 2x - x^2$ до $y = 1$ за $x$ від 0 до 1:

$S = \int_0^1 (1 - (2x - x^2)) \, dx.$

$S = \int_0^1 (1 - 2x + x^2) \, dx.$

$S = \left[x - x^2 + \frac{x^3}{3}\right]_0^1.$

$S = \left(1 - 1 + \frac{1}{3}\right) - (0 - 0 + 0) = \frac{1}{3}.$

Отже, площа фігури обмеженої параболою $y = 2x - x^2$, прямою $y = 1$ і віссю ординат, дорівнює $\frac{1}{3}$.