Question

Знайдіть площу фігури обмеженої параболою y=2x-x^2 , прямою y= 1 і віссю ординат ​

Answer 1

Щоб знайти площу фігури, обмеженої параболою y = 2x - x^2, прямою y = 1 та віссю ординат, потрібно визначити точки перетину цих кривих.

1) Перетин з прямою y = 1:

Підставимо y = 1 у рівняння параболи і розв'яжемо щодо x:

2x - x^2 = 1

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Таким чином, парабола перетинає пряму y = 1 у точці (1, 1).

2) Перетин з віссю ординат:

Коли x = 0, підставимо це у рівняння параболи, щоб знайти відповідне значення y:

y = 2(0) - (0)^2

y = 0

Таким чином, парабола перетинає вісь ординат у точці (0, 0).

Тепер, коли ми знаємо точки перетину, ми можемо обчислити площу фігури.

Площа фігури буде рівна сумі площи під параболою та площі під прямою. Розділимо фігуру на дві частини: трикутник та сектор параболи.

1) Площа трикутника:

Площа трикутника може бути обчислена за формулою S = 1/2 * основа * висота.

Основа трикутника - відрізок між точками (0, 0) та (1, 1), який має довжину 1.

Висота трикутника - відстань між прямою y = 1 та параболою. Підставимо y = 1 у рівняння параболи:

1 = 2x - x^2

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Отримуємо ту саму точку перетину (1, 1), що і раніше.

Висота трикутника дорівнює 1 - 1 = 0.

Тому площа трикутника буде S1 = 1/2 * 1 * 0 = 0.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури обмеженої параболою y = 2x - x^2, прямою y = 1 і віссю ординат, вам потрібно обчислити інтеграл площі між цими кривими на відрізку від x = 0 до точки перетину цих кривих.

Спочатку знайдемо точки перетину параболи та прямої:

Парабола: y = 2x - x^2 Пряма: y = 1

Поставимо їх рівні один одному та розв'яжемо для x:

2x - x^2 = 1

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x = 1

Отже, парабола та пряма перетинаються при x = 1.

Тепер ми можемо обчислити інтеграл площі на відрізку [0, 1]:

S = ∫[0, 1] (2x - x^2 - 1) dx

Розкриємо дужки та обчислимо цей інтеграл:

S = ∫[0, 1] (2x - x^2 - 1) dx = [x^2 - (x^3/3) - x] от 0 до 1

Тепер підставимо верхню та нижню межі інтегрування:

S = (1^2 - (1^3/3) - 1) - (0^2 - (0^3/3) - 0)

S = (1 - 1/3 - 1) - (0 - 0 - 0)

S = (1/3) - 1

S = -2/3

Отже, площа фігури обмеженої параболою y = 2x - x^2, прямою y = 1 і віссю ординат дорівнює -2/3 квадратних одиниць.