Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y=2-х, у=-х2 +2.

Answer 1

Спочатку ми знайдемо точки перетину цих двох ліній. Поставляємо їх рівність:

2-х = -х2 + 2

0 = х2 - х

0 = х(х - 1)

Х = 0 або х = 1

Тому точки перетину цих ліній будуть (0, 2) і (1, 1).

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями. Ми можемо розділити її на дві частини, вираховуючи площу трикутника та площу під кривою.

Площа трикутника дорівнює:

(1/2) * (1-0) * (2-1) = 1/2

Площа під кривою дорівнює:

∫[0,1] (-х2 + 2 - (2-х)) дх

= ∫[0,1] (-х2 + х) дх

= [(-x3/3) + (x2/2)] [0,1]

= (-1/3) + (1/2)

= 1/6

Отже, загальна площа фігури дорівнює:

1/2 + 1/6 = 2/3

Відповідь: площа фігури, обмеженої лініями y = 2-х та y = -х2 + 2 становить 2/3 квадратних одиниць.

Answer 2

Щоб знайти площу області, обмеженої цими двома функціями, потрібно спочатку знайти точки їх перетину, а потім визначити інтеграл від функції, яка описує різницю цих двох функцій.

1. Знайдемо точки перетину:

Поставимо y=2-x у другу функцію:

2-x = -x^2 + 2

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

Отримуємо дві можливі значення x: x = 0 та x = 1.

Підставимо ці значення назад, щоб знайти відповідні y:

Для x = 0:

y = 2 - 0 = 2

Для x = 1:

y = 2 - 1 = 1

Отже, точки перетину - (0, 2) та (1, 1).

2. Тепер, використовуючи ці точки, ми можемо визначити інтеграл від різниці функцій. Функції y=2-x та y=-x^2+2 перетинаються від x = 0 до x = 1.

Площа може бути знайдена за допомогою наступного інтегралу:

$S = \int_{0}^{1} ((2 - x) - (-x^2 + 2)) dx$

$S = \int_{0}^{1} (2 - x + x^2 - 2) dx$

$S = \int_{0}^{1} (x^2 - x) dx$

$S = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \Bigg|_{0}^{1}$

$S = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - (0 - 0) = \frac{1}{6}$

Отже, площа фігури, обмеженої цими двома функціями, дорівнює $\frac{1}{6}$ квадратних одиниць.