Question

вычислить объем тела полученного вращением вокруг оси Ох области, ограниченной параболой y = x^2 + 2, y = 0, x = 1

Answer 1

Ответ:        = 83π/15 ≈ 5.53*π куб. ед.

Пошаговое объяснение:

решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости  необходимо построить фигуру, ограниченную линиями

y = x^2 + 2; y = 0;  x = 1. (См. скриншот).

Закрашенная   фигура   вращается вокруг оси Ох. В результате вращения получается такая фигура  которая симметрична относительно оси Ох.

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

V=π∫ₐᵇf²(x)dx.

Пределы интегрирования a=0,  b=1.

V = π∫₀¹(x²+2)²dx = π∫₀¹(x⁴+4x+4)dx = π(x⁵/5+4x³/3+4x)|₀¹ =

= π(1⁵/5+4*1³/3 + 4*1) = π(1/5+4/3+4) = π(3/15+20/15+4) = π(4 23/15) =

= 83π/15 ≈ 5.53*π куб. ед.

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного вращением области, ограниченной параболой y = x^2 + 2, y = 0 и x = 1 вокруг оси Ох, мы можем использовать метод вращения. Мы будем интегрировать по переменной x.

1. Сначала найдем точки пересечения кривых y = x^2 + 2 и y = 0. Это происходит при x = 1 и x = -1.

2. Теперь мы можем записать интеграл для вычисления объема вращения. Объем вращения вокруг оси Ох можно вычислить с помощью следующего интеграла:

   V = ∫[a, b] A(x) dx

   Где a и b - границы интегрирования (от -1 до 1 в данном случае), A(x) - площадь поперечного сечения области вращения в зависимости от x.

3. Площадь поперечного сечения можно найти, используя формулу для площади кольца:

   A(x) = π * [R(x)^2 - r(x)^2]

   Где R(x) - расстояние от оси Ох до внешней грани области вращения, а r(x) - расстояние от оси Ох до внутренней грани области вращения.

4. В данном случае, R(x) равно значению функции y = x^2 + 2, а r(x) равно 2 (расстояние от оси Ох до y = 0).

5. Теперь мы можем записать интеграл для объема:

   V = π * ∫[-1, 1] [(x^2 + 2)^2 - 2^2] dx

6. Вычислим данный интеграл:

   V = π * ∫[-1, 1] (x^4 + 4x^2) dx

   Подынтегральное выражение можно проинтегрировать по частям:

   V = π * [(x^5/5 + 4x^3/3)]|[-1, 1]

   Теперь вычислим значения на верхней и нижней границах:

   V = π * [(1/5 + 4/3) - (-1/5 + 4/3)]

   V = π * [(8/15) - (-8/15)]

   V = π * (16/15)

Таким образом, объем тела, полученного вращением области, ограниченной параболой y = x^2 + 2, y = 0 и x = 1 вокруг оси Ох, равен (16/15)π кубических единиц.