Question

в геометрической прогрессии все члены отличны от 0, а знаменатель не равен 1. Сумма седьмого члена с тринадцатым в этой прогрессии в 13 раз больше, чем сумма седьмого члена с девятым. Сумма десяти первых членов этой прогрессии равна 1023. Чему равен седьмой член этой прогрессии?

Answer 1

Lslslslslslslzllxlxkxk. Mmmsmsnd d

Answer 2

Давайте обозначим седьмой член геометрической прогрессии как a, а знаменатель (знаменатель прогрессии) как q. Также обозначим тринадцатый член как a13 и девятый член как a9.

Известно, что сумма седьмого члена с тринадцатым в этой прогрессии в 13 раз больше, чем сумма седьмого члена с девятым:

a + a13 = 13(a + a9)

Теперь у нас есть ещё одно уравнение, связанное с суммой первых 10 членов:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + aq^9 = 1023

Это уравнение описывает сумму десяти первых членов геометрической прогрессии. Теперь мы можем воспользоваться этими уравнениями, чтобы решить задачу.

1. Первое уравнение: a + a13 = 13(a + a9)
2. Второе уравнение: a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + aq^9 = 1023

Для упрощения решения давайте выразим a13 через a из первого уравнения:

a13 = 13(a + a9) - a

Теперь мы можем подставить это выражение во второе уравнение:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + 13(a + a9) - a = 1023

Упростим уравнение:

aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + 13(a + a9) = 1023

Теперь можно упростить его ещё больше:

a(q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + q^8 + 13) + 13a9 = 1023

Факторизуем a:

a(q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + q^8 + 13) + 13a9 = 1023

a(q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13) + 13a9 = 1023

Теперь мы видим, что у нас есть a в каждом члене слева. Так как в геометрической прогрессии все члены отличны от 0, а знаменатель не равен 1, то a ≠ 0 и q ≠ 1. Мы можем поделить обе стороны уравнения на a:

q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13) + 13a9 = 1023

Теперь выразим a9:

13a9 = 1023 - q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13)

a9 = (1023 - q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13)) / 13

Теперь мы можем подставить a9 обратно в первое уравнение:

a + 13a9 = 13(a + a9)

a + 13[(1023 - q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13)) / 13] = 13a + 13a9

a + 1023 - q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13) = 13a + 1023 - q(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7 + 13)

Теперь можно упростить уравнение:

a - 13a = 0

-12a = 0

a = 0

Однако это противоречит условию задачи, которое гласит, что все члены прогрессии отличны от 0. Значит, седьмой член этой геометрической прогрессии не существует, и задача некорректна.