Question

Найти скалярное произведение векторов p = 2a + 3b и q = a – 2 b, если |a|=2, |b|=3, а угол между векторами a и b равен 60°.

Answer 1

$p = 2a+3b\\q=a-2b\\(pq) = (2a+3b)(a-2b) = 2|a|^2-6|b|^2-(ab) =\\2|a|^2-6|b|^2-|a||b|\cos60^\circ=8-54-6\cdot0.5=-49$

Answer 2

Сначала найдем векторы $a$ и $b$ в терминах их координат.

Для вектора $a$ с известной длиной $|a| = 2$ и углом $\theta$ между вектором $a$ и положительным направлением оси $x$ можно записать следующее: $a = |a| \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{pmatrix}$

Так как угол между векторами $a$ и $b$ равен $60^\circ$, то $\theta = 60^\circ$. Также, учитывая, что $|a| = 2$, мы можем записать $a$ в координатной форме: $a = 2 \begin{pmatrix}\cos(60^\circ) \\ \sin(60^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}$

Аналогично для вектора $b$, имея $|b| = 3$ и угол между $b$ и положительным направлением оси $x$ равным $\theta$, мы получаем: $b = |b| \begin{pmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{pmatrix}$

Учитывая, что $|b| = 3$ и угол между $a$ и $b$ равен $60^\circ$, мы имеем $\theta = -60^\circ$, так как углы между векторами $a$ и $b$ имеют разные знаки. Поэтому: $b = 3 \begin{pmatrix}\cos(-60^\circ) \\ \sin(-60^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.5 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$

Теперь выразим $p$ и $q$ через $a$ и $b$: $p = 2a + 3b = 2\begin{pmatrix}1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}1.5 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$ $p = \begin{pmatrix}2 \\ 2\sqrt{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4.5 \\ -\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6.5 \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$

$q = a - 2b = \begin{pmatrix}1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}1.5 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$ $q = \begin{pmatrix}1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 2\sqrt{3}\end{pmatrix}$