Question

Известно, что натуральное число n не кратно 3. Докажите, что значение выражения n^2+2 кратно 3. (распишите поподробнее, если можно)

Answer 1

Допустим, что натуральное число n не кратно 3. Тогда n можно представить в виде n = 3k + 1 или n = 3k - 1 для некоторого натурального числа k.

В первом случае n^2 + 2 = (3k + 1)^2 + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1), которое кратно 3.

Во втором случае n^2 + 2 = (3k - 1)^2 + 2 = 9k^2 - 6k + 1 + 2 = 9k^2 - 6k + 3 = 3(3k^2 - 2k + 1), которое также кратно 3.

Таким образом, значение выражения n^2 + 2 кратно 3 для любого натурального числа n, которое не кратно 3.

Answer 2

$(n^2+2)\ \textrm{mod}\ 3 = (n^2-1) \mod 3$

3 - простое число, а потому согласно малой теореме Ферма для $n$ не кратного 3 число $n^2-1$ делится на три, значит и $n^2+2$ делится на 3

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Мы будем доказывать его для всех натуральных чисел n, не кратных 3.

Шаг 1: Проверка базового случая.

Для n = 1, выражение n^2 + 2 равно:

1^2 + 2 = 1 + 2 = 3.

3 является кратным 3. Таким образом, базовый случай подтвержден.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что для некоторого натурального числа k, которое не кратно 3, выражение k^2 + 2 кратно 3. То есть:

k^2 + 2 = 3m, где m - целое число.

Шаг 3: Индукционный переход.

Теперь мы хотим доказать, что если предположение индукции верно для k, то оно верно и для k + 1. Рассмотрим выражение (k + 1)^2 + 2:

(k + 1)^2 + 2 = k^2 + 2k + 1 + 2 = (k^2 + 2) + 2k + 3.

По предположению индукции, k^2 + 2 кратно 3 (k^2 + 2 = 3m), поэтому мы можем заменить k^2 + 2 на 3m:

(k^2 + 2) + 2k + 3 = 3m + 2k + 3.

Теперь давайте выразим это выражение так, чтобы показать, что оно также кратно 3:

3m + 2k + 3 = 3m + 2k + 2 + 1 = 3(m + k + 1).

Заметьте, что m + k + 1 является целым числом. Таким образом, мы видим, что (k + 1)^2 + 2 также делится на 3.

Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно также верно для k + 1. Поскольку базовый случай (n = 1) верен, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n, не кратных 3, по принципу математической индукции.

Таким образом, значение выражения n^2 + 2 действительно кратно 3 для всех натуральных чисел n, не кратных 3.