Question

Знайти точки екстремуму funkzii y=x/4 + 4/x

Answer 1

ООФ: x не равен 0 (т.к. находится в знаменателе).

В точке экстремума производная функции равна нулю либо не существует.

$y=\frac x4 + \frac4/x\\ y'=\frac14-\frac4{x^2},\quad y'=0\\ \frac14-\frac4{x^2}=0\\ \frac14=\frac4{x^2}\\ x^2=16\\ x=\pm4$

В точке -4 производная функции меняет знак с минуса на плюс, значит в точке x = -4 экстремум минимум, в точке 4 производная функции меняет знак с плюса на минус, значит в точке x = 4 экстремум максимум. В точке 0 функция не существует.

Answer 2

Для знаходження точок екстремуму функції $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$, спершу знайдемо похідну цієї функції та розв'яжемо рівняння $\frac{dy}{dx} = 0$.

1. Знайдемо похідну $y$ за $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right)$$

Використовуючи правила похідних, отримуємо:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$$

2. Тепер знайдемо точки, в яких $\frac{dy}{dx} = 0$:

$$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$$

Спростимо рівняння:

$$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2}$$

Перевернемо обидві сторони рівняння:

$$x^2 = \frac{16}{1} = 16$$

Витягнемо квадратний корінь з обох сторін:

$$x = \pm 4$$

Тепер, ми маємо дві можливі точки екстремуму: $x = 4$ і $x = -4$.

3. Знайдемо відповідні значення $y$ для цих точок:

Для $x = 4$:

$$y = \frac{4}{4} + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2$$

Для $x = -4$:

$$y = \frac{-4}{4} + \frac{4}{-4} = -1 - 1 = -2$$

Отже, точки екстремуму цієї функції - це $(4, 2)$ і $(-4, -2)$.