Question

Буратино расставляет по кругу целые числа от 1 до 100, а папа Карло даёт Буратино по 1 золотому за каждое число, которое больше суммы двух своих соседей. Какое наибольшее количество золотых может получить Буратино? а) 51 б) 50 в) 49 Г) 34 д) 25 Помогите пожалуйста

Answer 1

50.

 

Если число меньше суммы двух соседних, значит, число меньше каждого из соседей. Поэтому из любых двух рядом стоящих чисел ровно одно может претендовать на то, чтобы "стоить" 1 золотой. Поэтому Буратино мог получить не более 50 золотых.

 

Покажем, что такой случай реализуется, числа могут быть расставлены так: 1 - 51 - 2 - 53 - 3 - 54 - 4 - ... - 48 - 99 - 49 - 100 - 50 - 52 - 1. (т.е. перед "подчеркнутым" числом K стоит число 50+K, кроме K=2 и 1)

Answer 2

Чтобы максимизировать количество золотых, которое Буратино может получить, нужно разместить числа так, чтобы как можно больше чисел было больше суммы двух своих соседей. Рассмотрим, как можно разместить числа от 1 до 100 в круге для достижения этой цели.

Для начала расставим числа от 1 до 50 в круге. Эти числа будут иметь двух соседей и будут больше суммы своих соседей.

Пример для первых нескольких чисел:

1. Расставляем 1 в верхней части круга.
2. Рядом с 1 ставим 2 и 3.
3. Последовательно продолжаем расставлять числа от 4 до 50 в верхней половине круга, таким образом, чтобы каждое число было больше суммы своих двух соседей.

Теперь у нас есть 50 чисел, каждое из которых больше суммы своих двух соседей. Для оставшихся 50 чисел (от 51 до 100) мы не можем гарантировать, что каждое из них будет больше суммы своих двух соседей, так как у них будет только один сосед. Поэтому мы можем разместить оставшиеся числа в нижней половине круга, но не можем гарантировать, что они будут соответствовать условию.

Таким образом, наибольшее количество золотых, которое Буратино может получить, - это 50 золотых (за числа от 1 до 50), что соответствует варианту б) 50.