Question

Tg(a)+tg(b)+tg(a)*tg(b)=1 Докажите пожалуйста это тождествоПри этом:   (а)- обазночение угла альфа (b)- обазночение угла бетта

Answer 1

$tgA+tgB+tgAtgB=\frac{sin(A+B)}{cosAcosB}+\frac{sinAsinB}{cosAcosB}= \\\ =\frac{sin(A+B)+sinAsinB}{cosAcosB}= \\\ =\frac{sin(A+B)+\frac{1}{2}(cos(A-B)-cos(A+B))}{\frac{1}{2}(cos(A+B)+cos(A-B))}= \\\ =\frac{sin\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(cos(A-B)-cos\frac{\pi}{4})}{\frac{1}{2}(cos\frac{\pi}{4}+cos(A-B))}= \\\ =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}(cos(A-B)-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+cos(A-B))}=$

$\\\ =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}cos(A-B)-\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}cos(A-B)}= \\\ =\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}cos(A-B)}{\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}cos(A-B)}=1$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество с помощью тригонометрических идентичностей. Начнем с левой стороны уравнения:

tg(a) + tg(b) + tg(a) * tg(b)

Мы можем использовать следующую тригонометрическую идентичность:

tg(x) * tg(y) = (sin(x) / cos(x)) * (sin(y) / cos(y)) = (sin(x) * sin(y)) / (cos(x) * cos(y))

Применим эту идентичность к уравнению:

tg(a) + tg(b) + (sin(a) * sin(b)) / (cos(a) * cos(b))

Теперь давайте воспользуемся другой тригонометрической идентичностью:

sin(a) * sin(b) / (cos(a) * cos(b)) = (sin(a) / cos(a)) * (sin(b) / cos(b)) = tg(a) * tg(b)

Итак, левая сторона уравнения преобразуется в:

tg(a) + tg(b) + tg(a) * tg(b)

= tg(a) + tg(b) + tg(a) * tg(b)

= tg(a) + tg(b) + (sin(a) * sin(b)) / (cos(a) * cos(b))

= tg(a) + tg(b) + tg(a) * tg(b)

= tg(a) + tg(b) + tg(a) * tg(b)

= 1

Таким образом, мы доказали, что левая сторона уравнения равна 1, что и требовалось доказать. Тождество верно.