Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СД. Прямая, перпендикулярная СД и проходящая через Д, пересекает АС в точке Е. Найдите ЕС, если АД =1

Answer 1

"Тригонометрическое" решение просто тривиальное.
Из точки D на AC проводится перпендикуляр DK, K - лежит на AC. 
Тогда
DC = EC*cos(C/2);
DK = DC*sin(C/2) = EC*sin(C)/2;
Но
DK = AD*sin(A) = AD*sin(С); (так как углы А и С равны)
поэтому
AD = EC/2;

Answer 2

Для решения этой задачи вам потребуется использовать свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника.

Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, то биссектриса CD будет одновременно и медианой, и высотой этого треугольника. Это означает, что CD делит основание AC пополам, то есть AC = 2CD.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник CDE, так как CD - медиана, а CE - высота. Мы знаем, что AD = 1, и так как треугольник CDA - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2

(2CD)^2 = 1^2 + CD^2

4CD^2 = 1 + CD^2

3CD^2 = 1

CD^2 = 1/3

CD = √(1/3)

Теперь мы знаем длину CD. Чтобы найти CE, мы можем использовать факт, что CD является медианой треугольника CDA, и она делит сторону CA пополам:

CE = 1/2 * AC

CE = 1/2 * 2CD

CE = CD

Теперь у нас есть значение CD, которое мы вычислили ранее:

CE = √(1/3)

Таким образом, EC = √(1/3).