Question

Найдите интервалы возрастания и убывания функции,точки экстремума y=x^3-9x^2+15x-3

Answer 1

Y = x³ - 9x² + 15x - 3
y ' = (x³ - 9x² + 15x - 3) ' =3x² - 9 (2x) + 15 = 3x² - 18x + 15
3x² - 18x + 15 = 0   (: 3)
x² - 6x + 5 = 0
D = b² - 4ac = (-6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16
x₁ = (6 - 4)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (6 + 4)/2 = 10/2 = 5
Далее см. приложенное фото. Этот чертеж нужно сделать в тетради.

Ответ: возрастает на (- ∞ ; 1] , [5 ; + ∞)
           убывает на [1 ; 5]
           X max = 1
           X min = 5
 

Answer 2

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, начнем с вычисления производной функции и анализа ее знаков.

Данная функция: $y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$.

1. Найдем производную функции $y'(x)$:

$y'(x) = 3x^2 - 18x + 15$.

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить точки экстремума. Решим уравнение $y'(x) = 0$:

$3x^2 - 18x + 15 = 0$.

Сначала упростим уравнение, разделив его на 3:

$x^2 - 6x + 5 = 0$.

Это уравнение квадратное и может быть разложено на множители:

$(x - 5)(x - 1) = 0$.

Отсюда получаем два решения: $x = 5$ и $x = 1$.

Теперь мы имеем две критические точки, $x = 5$ и $x = 1$, где производная равна нулю. Давайте проанализируем интервалы между этими точками.

3. Исследуем интервалы между $x = 1$ и $x = 5$:

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов: $x = 0$ (производная $y'(0) = 15$ положительна) и $x = 3$ (производная $y'(3) = -6$ отрицательна).

Таким образом:

• На интервале $(-\infty, 1)$ производная $y'(x)$ положительна, поэтому функция $y(x)$ возрастает на этом интервале.
• На интервале $(1, 5)$ производная $y'(x)$ отрицательна, поэтому функция $y(x)$ убывает на этом интервале.
• На интервале $(5, +\infty)$ производная $y'(x)$ снова положительна, поэтому функция $y(x)$ возрастает на этом интервале.

4. Теперь найдем значение функции $y(x)$ в точках $x = 1$ и $x = 5$, чтобы определить значения экстремумов:

• Для $x = 1$: $y(1) = 1^3 - 9 * 1^2 + 15 * 1 - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$.

• Для $x = 5$: $y(5) = 5^3 - 9 * 5^2 + 15 * 5 - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$.

Итак, у нас есть одна точка экстремума: $x = 1, y = 4$. Она является минимумом, так как функция переходит из возрастания в убывание в этой точке.

Сводная информация:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, 1)$ и $(5, +\infty)$.
• Функция убывает на интервале $(1, 5)$.
• Есть одна точка экстремума: $(1, 4)$, которая является минимумом.