Question

Доказать справедливость неравенства  ln(1+x)<x при x>0.

Answer 1

Ln(1+x)<x
ln(1+x)<ln(e^x)
1+x<e^x
Разложим в ряд e^x
e^x = 1+x + x^2/2! + o(x^n)
1+x<1+x + x^2/2! + o(x^n)
x^2/2! + o(x^n)>0 для любого x>0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства мы можем воспользоваться производной функции. Давайте найдем производную функции f(x) = ln(1+x) и затем покажем, что она меньше x при x > 0.

1. Найдем производную функции f(x) = ln(1+x):

f'(x) = d/dx [ln(1+x)].

Для нахождения производной данной функции применим цепное правило дифференцирования:

f'(x) = (1 / (1+x)) * d/dx (1+x).

f'(x) = (1 / (1+x)) * 1.

f'(x) = 1 / (1+x).

2. Теперь мы имеем производную функции f(x) = ln(1+x), которая равна f'(x) = 1 / (1+x). Мы хотим показать, что f'(x) < x при x > 0.

Для этого давайте рассмотрим неравенство:

f'(x) < x.

1 / (1+x) < x.

Теперь давайте умножим обе стороны неравенства на (1+x), предполагая, что x > 0 (так как изначально было дано, что x > 0):

1 < x(1+x).

2. Раскроем скобки и упростим неравенство:

1 < x + x^2.

3. Теперь выразим x^2 через x и упростим:

0 < x^2 + x - 1.

4. Теперь мы видим, что x^2 + x - 1 является квадратным трехчленом. Для определения его знака, давайте найдем его корни с помощью квадратного уравнения:

x^2 + x - 1 = 0.

Используя квадратную формулу, найдем корни:

x = (-1 ± √5) / 2.

Так как x > 0 (по условию), то корень x = (-1 - √5) / 2 не подходит. Остается корень x = (-1 + √5) / 2.

5. Теперь мы знаем, что функция x^2 + x - 1 имеет корень x = (-1 + √5) / 2, который является положительным числом, и это значит, что для x > 0 неравенство x^2 + x - 1 > 0 выполняется.

6. Поскольку x^2 + x - 1 > 0, мы можем утверждать, что 0 < x^2 + x - 1, и, следовательно, 1 < x + x^2.

7. Таким образом, мы доказали, что f'(x) = 1 / (1+x) < x при x > 0.

8. Поскольку f'(x) < x, это означает, что ln(1+x) < x при x > 0.