Question

Исследуйте с помощью производной функцию и постройте график y=1/3 * x^3 -x^2 -3 * x +1/3

Answer 1

Решение смотри во вложении...................

Answer 2

Для исследования функции y = (1/3) * x^3 - x^2 - 3 * x + (1/3) сначала найдем ее производную и затем проанализируем ее свойства.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx [(1/3) * x^3 - x^2 - 3 * x + (1/3)] y' = (1/3) * d/dx(x^3) - d/dx(x^2) - 3 * d/dx(x) + 0 y' = (1/3) * 3x^2 - 2x - 3 y' = x^2 - 2x - 3

Теперь у нас есть производная функции y. Давайте проанализируем ее свойства, чтобы найти критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума.

2. Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0: x^2 - 2x - 3 = 0

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или факторизации: (x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 3 и x = -1.

3. Теперь мы можем построить таблицу знаков для y':
   • В интервале (-бесконечность, -1) проверим точку x = -2: y'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительное)
   • В интервале (-1, 3) проверим точку x = 0: y'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 (отрицательное)
   • В интервале (3, +бесконечность) проверим точку x = 4: y'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительное)

Из таблицы знаков следует, что:

• Функция убывает на интервале (-1, 3).
• Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -1) и (3, +бесконечность).

4. Теперь найдем точки экстремума, используя критические точки:
   • x = -1: Проверим вторую производную y''(x): y''(-1) = 2(-1) - 2 = -4 (отрицательное). Это указывает на максимум.
   • x = 3: Проверим вторую производную y''(x): y''(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 (положительное). Это указывает на минимум.

Итак, у нас есть максимум в точке x = -1 и минимум в точке x = 3.

5. Теперь построим график функции y = (1/3) * x^3 - x^2 - 3 * x + (1/3) с учетом полученных данных о производной и ее свойствах:

Подставим значения критических точек и точек экстремума в функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

• Для x = -1: y(-1) = (1/3) * (-1)^3 - (-1)^2 - 3 * (-1) + (1/3) = 1/3 + 1 + 3 + 1/3 = 5 2/3
• Для x = 3: y(3) = (1/3) * (3)^3 - (3)^2 - 3 * (3) + (1/3) = 27/3 - 9 - 9 + 1/3 = -8 2/3

Таким образом, координаты точек экстремума: (-1, 5 2/3) и (3, -8 2/3).

Теперь можно построить график функции, учитывая эту информацию и интервалы возрастания и убывания:

[Вставьте график функции с максимумом в точке (-1, 5 2/3) и минимумом в точке (3, -8 2/3).]