Question

Оч срочно! нужно полное решение). заранее спасибо! 1. С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x)=x^4-8x^2+3. 2. Исследуйте функцию и постройте её график: f(x)=-x^2-2x+8. 3. Разложите число 100 на два таких положительных множителя, чтобы их сумма была наименьшей.

Answer 1

Задача 1.
f(x) = x^4 - 8x^2 + 3
Производная: f'(x) = 4x^3 - 8*2x = 4x^3 - 16x
Разложим на множители производную: f'(x) = x(4x^2 - 16x) = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2).
Функция возрастает на промежутках, когда f'(x) >= 0, то есть 4x(x - 2)(x + 2) >= 0, то есть когда x входит в промежуток [-2;0] & [2; +бесконечность)
Убывает на промежутках, когда f'(x) <= 0, то есть когда на промежутке (-бесконечность;-2] & [0; +2]

Задача 2.
Функция является параболой, ветви направлены вверх.
Область определения: от минус бесконечности до плюс бесконечности
Множество значений: [7; +бесконечность), это можно увидеть выделив полный квадрат (x - 1)^2 + 7.
Возрастает на [1; +беск), убывает на (-беск; 1]
Точка минимума в x = 1, минимум y = 7.
Нулей у функции нет, на всей области определения все значения положительны.

Задача 3.
100 = 10*10, сумма 10 + 10 = 20 - наименьшая.
Пусть это не так и существуют два каких-то других множителя, которые дают сумму меньшую 20. Тогда они имеют вид 10*x и 10/x (где x положительное число, не обязательно натуральное).
x не равен 1, так как наши числа должны быть отличны от 10, исходя из предположения.
Имеем неравенство 10*x + 10/x < 20, нужно определить x.
Неравенство можно привести к виду x + 1/x < 2.
Так как x положительно, то неравенство можно домножить на x: x^2 + 1 < 2x, или x^2 + 1 - 2x < 0, или (x - 1)^2 < 0, но такое неравенства не имеет решений. Значит, предположение, что числа не 10 и 10, неверно.
Ответ: 10, 10.

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по порядку:

1. Найдем промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 3\).

Сначала найдем производную функции: \[f'(x) = 4x^3 - 16x\]

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: \[4x^3 - 16x = 0\] \[4x(x^2 - 4) = 0\]

Таким образом, у нас есть три критические точки: \(x = 0, x = 2, x = -2\).

Теперь проведем тест знаков между этими точками и на концах интервала: \[ \begin{align*} (-\infty, -2) & : \text{ знак } f'(-3) = -, \text{ т.е. убывание} \\ (-2, 0) & : \text{ знак } f'(-1) = +, \text{ т.е. возрастание} \\ (0, 2) & : \text{ знак } f'(1) = -, \text{ т.е. убывание} \\ (2, \infty) & : \text{ знак } f'(3) = +, \text{ т.е. возрастание} \end{align*} \]

Итак, функция возрастает на интервалах \((-2, 0)\) и \((2, \infty)\), и убывает на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((0, 2)\).

2. Исследуем функцию \(f(x) = -x^2 - 2x + 8\).

a. Найдем вершины параболы (минимум/максимум): Вершина параболы \(ax^2 + bx + c\) имеет координаты \((-b/2a, f(-b/2a))\). Для функции \(f(x) = -x^2 - 2x + 8\): \[ \begin{align*} a & = -1 \\ b & = -2 \\ c & = 8 \end{align*} \] Тогда координаты вершины: \[ \begin{align*} x & = \frac{-(-2)}{2(-1)} = 1 \\ f(1) & = -1^2 - 2(1) + 8 = 6 \end{align*} \] Таким образом, вершина находится в точке \((1, 6)\).

b. Найдем интервалы возрастания и убывания: Поскольку \(a = -1 < 0\), парабола направлена вниз, и функция убывает на всей числовой оси.

c. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости: Также, поскольку \(a = -1 < 0\), парабола вся вогнута вниз.

d. Найдем точки пересечения с осями координат: При \(x = 0\), \(f(0) = 8\), так что точка пересечения с осью \(y\) равна \((0, 8)\). При \(f(x) = 0\), решая уравнение \(-x^2 - 2x + 8 = 0\), получаем два корня: \(x = -2\) и \(x = 4\).

3. Разложим число 100 на два положительных множителя, чтобы их сумма была наименьшей. Пусть эти множители будут \(a\) и \(b\), тогда \(ab = 100\). Чтобы их сумма была наименьшей, они должны быть близкими друг к другу. Следовательно, \(a\) и \(b\) будут близки к корню из 100. Корень из 100 равен 10, так что возможное разложение: \(a = 10 - \varepsilon\) и \(b = 10 + \varepsilon\) для некоторого малого положительного числа \(\varepsilon\). Тогда: \[ ab = (10 - \varepsilon)(10 + \varepsilon) = 100 - \varepsilon^2 \] Сумма \(a + b = 20\) минус маленькое положительное число \(\varepsilon^2\). Таким образом, минимальная сумма достигается, когда \(a\) и \(b\) близки к корню из 100, и ответ будет близким к 20.