Question

Выразите b через a, если 2^a=5 и 20^b=125

Answer 1

2^a=5 4^a=25 8^a=125 и 20^b=125 так как правые части равны то можно приравнять 8^a=20^b

Answer 2

Для выражения b через a, мы можем использовать информацию о степенях и свойствах степеней. Давайте начнем с уравнения 2^a = 5.

Сначала найдем значение a:

2^a = 5

Теперь мы можем использовать логарифм по основанию 2, чтобы выразить a:

a = log₂(5)

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение: 20^b = 125. Мы можем заметить, что 125 = 5^3, и 20 = 4 * 5, поэтому 20^b можно переписать как (4 * 5)^b = 4^b * 5^b.

Теперь мы можем использовать свойство степеней, которое позволяет перемножать степени с одинаковыми основаниями:

20^b = 4^b * 5^b

Теперь мы знаем, что 4^b * 5^b = 125, поэтому:

4^b * 5^b = 125

Теперь мы можем заметить, что 4 = 2^2, поэтому 4^b = (2^2)^b = 2^(2b).

Теперь у нас есть:

2^(2b) * 5^b = 125

Теперь мы можем использовать информацию из первого уравнения (2^a = 5), чтобы заменить 5 в уравнении:

2^(2b) * (2^a)^b = 125

Теперь мы можем использовать свойство степеней, которое позволяет умножать степени с одинаковыми основаниями при сложении показателей степени:

2^(2b + ab) = 125

Теперь мы знаем, что 2^a = 5, поэтому a = log₂(5). Мы можем заменить a:

2^(2b + b * log₂(5)) = 125

Теперь мы хотим выразить b через a:

2^(2b + b * log₂(5)) = 125

Избавимся от основания 2, применив логарифм по основанию 2 к обоим сторонам уравнения:

2b + b * log₂(5) = log₂(125)

Теперь мы можем выразить b:

b(2 + log₂(5)) = log₂(125)

b = log₂(125) / (2 + log₂(5))

Теперь мы можем выразить b через a:

b = log₂(125) / (2 + log₂(5))

Таким образом, b можно выразить как b = log₂(125) / (2 + log₂(5)), используя данную информацию о значениях a и b.