Question

 подробно.вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси ox кривой L 1) x-y^2=0 .x=0 .y= - 1 . 2)x+y^2=0 . x= - 1 . y=0 Заранее спасибо)))

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением кривых вокруг оси Ox, вы можете использовать метод цилиндров. Общая формула для вычисления объема тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ от $x = a$ до $x = b$ вокруг оси Ox, выглядит следующим образом:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Для каждой из заданных кривых $x - y^2 = 0$ и $x + y^2 = 0$, а также для указанных ограничений $x = 0$, $y = -1$, $x = -1$, $y = 0$, мы вычислим объемы и затем сложим их.

1. Для кривой $x - y^2 = 0$, границы изменения x будут от 0 до -1, а функция $f(x)$ будет равна $y = \sqrt{x}$. Тогда объем этой части равен:

$V_1 = \pi \int_{0}^{-1} (\sqrt{x})^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$V_1 = \pi \int_{0}^{-1} x dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{-1} = \pi \left(-\frac{1}{2} - 0\right) = -\frac{\pi}{2}$

2. Для кривой $x + y^2 = 0$, границы изменения x будут от -1 до 0, и функция $f(x)$ также будет $y = \sqrt{-x}$. Тогда объем этой части равен:

$V_2 = \pi \int_{-1}^{0} (\sqrt{-x})^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$V_2 = \pi \int_{-1}^{0} (-x) dx = \pi \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = \pi \left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2}$

Теперь складываем объемы:

$V_{\text{общий}} = V_1 + V_2 = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$

Таким образом, объем тела, образованного вращением указанных кривых вокруг оси Ox, равен 0.