Question

Записати рівняння дотичної до графіка функції f(x)=x³+5x у точці x₀=2.

Answer 1

F(x) = x³ + 5x
f(x₀) = f(2) = 2³ + 5·2 = 18
f ' (x) = 3x² + 5
f ' (x₀) = f ' (2) = 3·2² + 5 = 17
y = f(x₀) + f ' (x₀)(x - x₀)
y = 18 + 17· (x - 2) = 18 + 17x - 34 = 17x - 16
Відповідь: у = 17х - 16.

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції $f(x) = x^3 + 5x$ у точці $x_0 = 2$, нам спершу потрібно знайти значення $f(2)$ та похідну $f'(x)$. Потім ми можемо використовувати формулу для рівняння дотичної:

1. Знайдемо значення функції $f(x)$ у точці $x_0 = 2$:

   $f(2) = (2)^3 + 5(2) = 8 + 10 = 18$

2. Знайдемо похідну $f'(x)$ функції $f(x)$:

   $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x) = 3x^2 + 5$

3. Тепер, коли ми знаємо значення функції $f(2)$ та похідну $f'(x)$ у точці $x_0 = 2$, ми можемо скласти рівняння дотичної:

   $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$

   Підставимо значення $f(2)$ та $f'(2)$:

   $y - 18 = (3(2)^2 + 5)(x - 2)$ $y - 18 = (12 + 5)(x - 2)$ $y - 18 = 17(x - 2)$

4. Можемо спростити рівняння:

   $y - 18 = 17x - 34$

5. Переносимо -18 на праву сторону:

   $y = 17x - 34 + 18$

6. Спростимо:

   $y = 17x - 16$

Отже, рівняння дотичної до графіка функції $f(x) = x^3 + 5x$ у точці $x_0 = 2$ має вигляд:

$y = 17x - 16$