Question

Найти точку минимума функции y=x√x-24x+14

Answer 1

У=х√х-24х+14 . Ищем производную на множестве [0;+∞)
y'=x'*√x+x*(√x)'-24+0=1√x+x*(1 / (2√x))-24=3/2 *x -24.
y'=0⇒3/2 *√x=24
√x=16
x=256.
 При х∈[0;256) производная имеет знак -, а при х∈ (256;+∞) - знак +.
х=256 - точка минимума, т.к. при переходе через эту точку знак производной меняется с минуса на плюс.

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = x√x - 24x + 14, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции y по x.
2. Решите уравнение для нахождения критических точек, где производная равна нулю.
3. Проверьте вторую производную в этих критических точках, чтобы определить, являются ли они точками минимума.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по x:

y'(x) = d/dx [x√x - 24x + 14]

Используя правила дифференцирования:

y'(x) = √x + x(1/2) * 1/2 * x^(-1/2) - 24

y'(x) = √x + (1/2)x^(-1/2) - 24

Шаг 2: Решим уравнение для нахождения критических точек, где y'(x) = 0:

√x + (1/2)x^(-1/2) - 24 = 0

Попробуем решить это уравнение аналитически. Сначала переносим 24 на правую сторону:

√x + (1/2)x^(-1/2) = 24

Затем возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x + (1/2) = 576

Теперь выразим x:

x = 576 - (1/2) = 575.5

Шаг 3: Проверим вторую производную в найденной критической точке, чтобы определить, является ли она точкой минимума. Возьмем вторую производную y''(x):

y''(x) = d/dx [√x + (1/2)x^(-1/2) - 24]

Используя правила дифференцирования:

y''(x) = (1/2)x^(-1/2) * (-1/2)x^(-3/2)

y''(x) = -1/4x^(-3/2)

Теперь подставим x = 575.5 во вторую производную:

y''(575.5) = -1/4 * (575.5)^(-3/2)

y''(575.5) ≈ -0.000061

Так как вторая производная отрицательна в найденной критической точке, это говорит о том, что точка (575.5, f(575.5)) является точкой минимума функции.

Таким образом, точка минимума функции y = x√x - 24x + 14 находится при x ≈ 575.5, а значение функции в этой точке можно найти, подставив x в исходную функцию:

y(575.5) = 575.5√575.5 - 24 * 575.5 + 14

Вычислите это значение для получения точки минимума вида (x, y).