Question

ПОООМООГИТЕ ПОСРОЧНЯКУ!!!!!! log3(x-2)+log3(x+6)>2

Answer 1

Log3(x-2)+log3(x+6)=2
ОДЗ:x-2>0 и x+6>0
решая систему из этих двух неравенств получаем: x>2
log3((x-2) * (x+6))=log3 9
(x-2)*(x+6)=9
x^2-2x+6x-12-9=0
x^2+4x-21=0
D=16+84=100
x1=(-4-10):2=3
x2=(-4-10):2=-7
учтем ОДЗ
x=3
ответ: x=3

Answer 2

Для решения неравенства log3(x-2) + log3(x+6) > 2, мы можем использовать свойства логарифмов и неравенств. Сначала преобразуем данное неравенство:

log3(x-2) + log3(x+6) > 2

Используем свойство логарифмов log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c):

log3((x-2)(x+6)) > 2

Теперь применим свойство логарифма log_a(b) > c эквивалентно a^c < b:

3^2 < (x-2)(x+6)

9 < (x-2)(x+6)

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала умножим оба выражения на 1/9:

(x-2)(x+6) > 1

Теперь умножим оба выражения на 9, чтобы избавиться от дроби:

9(x-2)(x+6) > 9

Раскроем скобки:

9(x^2 + 6x - 2x - 12) > 9

9(x^2 + 4x - 12) > 9

Теперь выразим это квадратное неравенство в стандартной форме (ax^2 + bx + c > 0):

9x^2 + 36x - 108 > 0

Теперь попробуем найти корни этого квадратного уравнения:

9x^2 + 36x - 108 = 0

Для упрощения, поделим все коэффициенты на 9:

x^2 + 4x - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(x + 6)(x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = -6 и x = 2.

Теперь мы можем построить знаки интервалов и определить, в каких интервалах неравенство 9x^2 + 36x - 108 > 0 выполняется:

• Берем точки на числовой прямой: -∞, -6, 2, +∞.

• Выбираем тестовую точку в каждом интервале, например, -7, 0, и 3.

• Подставляем тестовые точки в неравенство:

  • Для интервала (-∞, -6): 9*(-7)^2 + 36*(-7) - 108 = -63 - 252 - 108 < 0
  • Для интервала (-6, 2): 90^2 + 360 - 108 = -108 < 0
  • Для интервала (2, +∞): 93^2 + 363 - 108 = 81 + 108 - 108 > 0

Теперь мы видим, что неравенство выполняется только на интервалах (-6, 2) и (2, +∞). Таким образом, решением исходного неравенства log3(x-2) + log3(x+6) > 2 является:

x ∈ (-6, 2) ∪ (2, +∞)