Question

Критические точки функции y=2x+sin2x

Answer 1

Первая производная равна 2cos2x +2. Это выражение равно нулю при  х =Пи/2. 2Cos(Пи) +2 = -2 + 2 =0. Значит критическая точка (Пи/2, 0).

Answer 2

Для найти критические точки функции $y = 2x + \sin(2x)$, мы должны найти ее производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = \frac{d}{dx} (2x + \sin(2x))$

Используем правила дифференцирования:

$y' = 2 + \frac{d}{dx} (\sin(2x))$

Для нахождения производной $\sin(2x)$, мы можем использовать цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что производная $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot \frac{du}{dx}$. Здесь $u = 2x$, поэтому:

$\frac{d}{dx} (\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$

Теперь мы можем записать производную $y'$ как:

$y' = 2 + 2\cos(2x)$

Чтобы найти критические точки, устанавливаем $y' = 0$ и решаем уравнение:

$2 + 2\cos(2x) = 0$

Вычитаем 2 с обеих сторон:

$2\cos(2x) = -2$

Делим обе стороны на 2:

$\cos(2x) = -1$

Теперь мы хотим найти значения $x$, при которых $\cos(2x) = -1$. Это происходит, когда $2x$ равно $\pi$ или $3\pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(3\pi) = -1$. Таким образом, у нас есть две критические точки:

1. $2x = \pi$, откуда $x = \frac{\pi}{2}$.
2. $2x = 3\pi$, откуда $x = \frac{3\pi}{2}$.

Итак, критические точки функции $y = 2x + \sin(2x)$ равны $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.