Question

середина сторон CD и AB паралелограмма ABCD лежат в плоскости L а сторона BC не лежит в L . докажите что AD паралельны плоскости L

Answer 1

Если BC не лежит в плоскости L, то ABCD тоже не лежит в плоскости L. Плоскость L пересекает ABCD в точках M и N (середины сторон CD и AB). Значит, AD не лежит в плоскости L. MN параллельна AD, т.к. является средней линией ABCD. Следовательно, AD и и L параллельны (теорема).

Answer 2

Для доказательства, что сторона AD параллельна плоскости L, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма ABCD и свойствами плоскостей. Для начала определим, что означает, что середины сторон CD и AB лежат в плоскости L.

1. Поскольку середины сторон CD и AB лежат в плоскости L, это означает, что прямые, проходящие через середины этих сторон и перпендикулярные им, также лежат в плоскости L. Пусть эти прямые будут M1 и M2, соответственно.

2. Теперь рассмотрим сторону BC параллелограмма ABCD. Поскольку она не лежит в плоскости L, то это означает, что прямая, проходящая через середину стороны BC и перпендикулярная к ней (обозначим её как M3), не лежит в плоскости L.

3. Теперь предположим, что сторона AD не параллельна плоскости L. Тогда существует точка P на стороне AD и прямая, проходящая через P и перпендикулярная стороне AD (обозначим её как M4), не лежит в плоскости L.

4. Теперь рассмотрим точки пересечения прямых M1 и M2 с плоскостью L. Поскольку M1 и M2 лежат в плоскости L, то и их точки пересечения также лежат в плоскости L.

5. Рассмотрим точку пересечения прямой M3 с плоскостью L. Поскольку M3 не лежит в плоскости L, то её точка пересечения с плоскостью L также не лежит в этой плоскости.

6. Теперь рассмотрим точку пересечения прямой M4 с плоскостью L. Мы предположили, что M4 не лежит в плоскости L, поэтому её точка пересечения с этой плоскостью также не лежит в ней.

7. Таким образом, у нас есть противоречие: точка P на стороне AD должна лежать и в плоскости L (по свойствам параллелограмма и прямой M1), и не лежать в плоскости L (по прямой M4). Это противоречие говорит о том, что наше предположение о том, что сторона AD не параллельна плоскости L, неверно.

Следовательно, сторона AD параллельна плоскости L.