Question

Решите неравенствa пожалуйста 1) (x-1)(x^2-7x+10)<0 2)(x-2)^2(x+4)/1-x>=0 3) 16-4x/x^2-x-12<4

Answer 1

Разъясню как делать первое, остальные по аналогии.

Итак, произведение двух скобок меньше нуля. Включаем логику: когда произведение меньше нуля?
Когда у множителей разные знаки. Действительно: -а*б = -аб = -б*а;

На основе этих выводов составим совокупность систем уравнений. Квадратные скобки - или то, или другое. как и из примера выше, вышло 2 варианта: или первый, или второй. а сами условия в фигурных скобках, т. к. они должны иметь СТРОГО или -, или +.

далее просто решаем. нумерация для наглядности

Answer 2

Давайте решим каждое из этих неравенств по очереди:

1. (x-1)(x^2-7x+10) < 0

Сначала найдем корни квадратного уравнения внутри скобки:

x^2 - 7x + 10 = 0

(x - 2)(x - 5) = 0

Корни: x = 2 и x = 5.

Теперь используем метод интервалов для определения знака выражения. Разделим ось чисел на интервалы, используя найденные корни:

(-бесконечность, 2), (2, 5), (5, +бесконечность)

Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения:

• Для интервала (-бесконечность, 2) возьмем x = 0: (0 - 1)(0^2 - 7*0 + 10) = (0 - 1)(10) = -10. Отрицательно.
• Для интервала (2, 5) возьмем x = 3: (3 - 1)(3^2 - 7*3 + 10) = (2)(9 - 21 + 10) = (2)(-2) = -4. Отрицательно.
• Для интервала (5, +бесконечность) возьмем x = 6: (6 - 1)(6^2 - 7*6 + 10) = (5)(36 - 42 + 10) = (5)(4) = 20. Положительно.

Таким образом, неравенство (x-1)(x^2-7x+10) < 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, 2) и (2, 5).

2. (x-2)^2(x+4)/(1-x) >= 0

Сначала найдем корни знаменателя:

1 - x = 0

x = 1.

Теперь найдем корни числителя:

x - 2 = 0

x = 2.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому исключим x = 1 из рассмотрения.

Используем метод интервалов для определения знака выражения на интервалах (-бесконечность, 2) и (2, +бесконечность):

• Для интервала (-бесконечность, 2) возьмем x = 0: (0-2)^2(0+4)/(1-0) = 4 * 4 / 1 = 16. Положительно.
• Для интервала (2, +бесконечность) возьмем x = 3: (3-2)^2(3+4)/(1-3) = 1 * 7 / (-2) = -7/2. Отрицательно.

Таким образом, неравенство (x-2)^2(x+4)/(1-x) >= 0 выполняется на интервале (-бесконечность, 2) и не выполняется на интервале (2, +бесконечность).

3. 16 - 4x/(x^2 - x - 12) < 4

Сначала найдем корни знаменателя:

x^2 - x - 12 = 0

(x - 4)(x + 3) = 0

Корни: x = 4 и x = -3.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому исключим x = 4 и x = -3 из рассмотрения.

Проведем анализ неравенства на интервалах:

• Для интервала (-бесконечность, -3) возьмем x = -4: 16 - 4*(-4)/((-4)^2 - (-4) - 12) = 16 + 16/((16 + 4 - 12)) = 16 + 16/8 = 16 + 2 = 18. Положительно.
• Для интервала (-3, 4) возьмем x = 0: 16 - 4*0/(0^2 - 0 - 12) = 16. Положительно.
• Для интервала (4, +бесконечность) возьмем x = 5: 16 - 4*5/(5^2 - 5 - 12) = 16 - 20/(25 - 5 - 12) = 16 - 20/8 = 16 - 5/2 = 13.5. Положительно.

Таким образом, неравенство 16 - 4x/(x^2 - x - 12) < 4 выполняется на интервалах (-бесконечность, -3) и (-3, 4), но не выполняется на интервале (4, +бесконечность).