Question

Решить уравнение: 6cos^2t=5cost-1

Answer 1

,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Мы заметим, что уравнение содержит косинусы и может быть преобразовано с использованием идентичности:

$\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

$6(1 - \sin^2(t)) = 5\cos(t) - 1$

Распределим коэффициент 6:

$6 - 6\sin^2(t) = 5\cos(t) - 1$

Теперь заметим, что $\sin^2(t) = 1 - \cos^2(t)$, и заменим его:

$6 - 6(1 - \cos^2(t)) = 5\cos(t) - 1$

Распределим коэффициенты:

$6\cos^2(t) - 6 = 5\cos(t) - 1$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\cos(t)$:

$6\cos^2(t) - 5\cos(t) - 5 = 0$

Давайте решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для этого уравнения равен:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 6$, $b = -5$, и $c = -5$. Подставим эти значения:

$D = (-5)^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145$

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$\cos(t) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\cos(t) = \frac{5 \pm \sqrt{145}}{12}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $\cos(t)$:

1. $\cos(t) = \frac{5 + \sqrt{145}}{12}$
2. $\cos(t) = \frac{5 - \sqrt{145}}{12}$

Теперь, чтобы найти значения $t$, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса:

1. $t_1 = \cos^{-1}\left(\frac{5 + \sqrt{145}}{12}\right)$
2. $t_2 = \cos^{-1}\left(\frac{5 - \sqrt{145}}{12}\right)$

Заметьте, что в зависимости от контекста, вам могут потребоваться значения $t$ в определенном диапазоне, например, от 0 до $2\pi$, если это уравнение связано с периодичностью тригонометрических функций.