Question

Найдите наименьшее натуральное число п, для которого а) п! делится на 2016; б) п! делится на 2016 10 . (Напомним, что п! = 123... п.)

Answer 1

Б) п!делітся на 2016 10

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число $p$, для которого выполняются указанные условия, нам необходимо рассмотреть разложение числа $2016$ на простые множители и использовать свойства факториала.

а) Нам дано, что $p!$ должно делиться на $2016$. Разложим $2016$ на простые множители:

$2016 = 2^5 \times 3^2 \times 7.$

Для того чтобы $p!$ делилось на $2016$, в его разложении должны присутствовать все простые множители $2$, $3$ и $7$ в степени, не меньшей, чем они в разложении $2016$. То есть $p$ должно быть не меньше, чем $\max(5, 2, 1) = 5$.

б) Теперь нам дано, что $p!$ должно делиться на $201610$. Разложим $201610$ на простые множители:

$201610 = 2 \times 5 \times 20161.$

Аналогично, для того чтобы $p!$ делилось на $201610$, в его разложении должны присутствовать все простые множители $2$ и $5$ в степени, не меньшей, чем они в разложении $201610$. Также $p!$ должно делиться на $20161$, но так как $20161$ является простым числом, его разложение не влияет на разложение факториала.

Из этого следует, что $p$ должно быть не меньше, чем $\max(1, 1) = 1$.

Итак, наименьшее натуральное число $p$, удовлетворяющее условиям:

а) $p \geq 5$. б) $p \geq 1$.

Таким образом, наименьшее значение $p$ для данных условий равно $p = 5$.