Question

Решите уравнение, используя метод разложения на множетели x^4-2x^3+2x-1=0

Answer 1

$x^4-2x^3+2x-1=0$
$(x^4-1)-(2x^3-2x)=0$
$(x^2-1)(x^2+1)-2x(x^2-1)=0$
$(x^2-1)(x^2+1-2x)=0$
$(x-1)(x+1)(x^2-2x+1)=0$
$(x-1)(x+1)(x-1)^2=0$
$(x+1)(x-1)^3=0$
$x+1=0$   или    $(x-1)^3=0$
$x=-1$     или     $x=1$

Ответ: -1; 1

Answer 2

Данное уравнение:

x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0

можно решить методом разложения на множители. Попробуем разложить его на простые множители. Начнем с группировки членов:

x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x^4 - 2x^3) + (2x - 1)

Затем факторизуем по частям:

x^3(x - 2) + 1(2x - 1)

Теперь можно попробовать вынести общие множители из каждой скобки:

x^3(x - 2) + 1(2x - 1) = x^3(x - 2) + 2x - 1

Теперь у нас есть общий множитель (x - 2), который мы можем вынести за скобку:

x^3(x - 2) + 2x - 1 = x^3(x - 2) + (x - 2)

Теперь у нас есть общий множитель (x - 2) в обеих скобках, и мы можем вынести его:

x^3(x - 2) + (x - 2) = (x^3 + 1)(x - 2)

Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

(x^3 + 1)(x - 2) = 0

Теперь нам нужно решить два уравнения:

1. x^3 + 1 = 0
2. x - 2 = 0

Первое уравнение не имеет действительных корней, так как x^3 + 1 всегда положительно для любого реального x.

Второе уравнение дает нам корень:

x - 2 = 0 x = 2

Итак, уравнение x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0 имеет единственный действительный корень x = 2.