Question

Внутри треугольника выбраны две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 2, 6 и 30, а от другой (стороны рассматриваются в том же порядке) — 8, 10 и 22. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Answer 1

(2+6+30+8+10+22)/6=13 радиус окружности, вписанный в данный треугольник.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством радиуса вписанной окружности треугольника и формулой площади треугольника.

Пусть треугольник ABC имеет вписанную окружность с радиусом r. Тогда, согласно свойству, расстояние от вершины треугольника до центра окружности равно радиусу этой окружности.

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами через радиус вписанной окружности:

1. По полупериметру s и радиусу r: S = sr.
2. Используя длины сторон треугольника: S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), где a, b и c - длины сторон треугольника, s - полупериметр.

Сравнив эти два выражения для площади, получим: sr = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).

Теперь мы можем начать подставлять известные значения расстояний в это уравнение. Первая точка имеет расстояния 2, 6 и 30 к сторонам треугольника, а вторая точка имеет расстояния 8, 10 и 22 к тем же сторонам.

Для первой точки: a = 2 + 6 = 8, b = 6 + 30 = 36, c = 30 + 2 = 32.

Для второй точки: a = 8 + 10 = 18, b = 10 + 22 = 32, c = 22 + 8 = 30.

Подставляем в формулу площади треугольника: s = (a + b + c) / 2.

Для первой точки: s = (8 + 36 + 32) / 2 = 38.

Для второй точки: s = (18 + 32 + 30) / 2 = 40.

Теперь подставляем значения полупериметра и сторон в уравнение для радиуса вписанной окружности: sr = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).

Для первой точки: r = sqrt(38 * (38 - 8) * (38 - 36) * (38 - 32)) / 38 ≈ 7.44.

Для второй точки: r = sqrt(40 * (40 - 18) * (40 - 32) * (40 - 30)) / 40 ≈ 7.44.

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника равен примерно 7.44, независимо от выбранных точек внутри треугольника.