Question

Неперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу: F(X)=cx^2 при хє (0, и -10) 0при х(не належить)(-10, и 0) Знайти коефіцієнт с; функцію розподілу F(x) випадкової величини Х ; математичне сподівання і дисперсію функції У=епсилон(Х)=-х+4

Answer 1

$f(x)= \left\{\begin{array}{c}0\; ,\; x\leq -10\\cx^2\; ,\; -10\ \textless \ x\leq 0\\0\; ,\; x\ \textgreater \ 0\end{array}\right \\\\ \int\limits^{+\infty }_{-\infty } \, dx =1\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{-10}^0\, cx^2\, dx=c\cdot \frac{x^3}{3}\Big |_{-10}^0=c\cdot (0- \frac{-10^3}{3} )=1\\\\c\cdot \frac{1000}{3}=1\\\\c=\frac{3}{1000}=0,003$

$F(X)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(x)\, dx= \int\limits_{-10}^{x} {0,003x^2} \, dx =0,003\cdot \frac{x^3}{3}\Big |_{-10}^{x} =\\\\=0,001\cdot (x^3-(-10)^3)=0,001\cdot (x^3+1000)=0,001x^3+1\\\\F(x)= \left\{\begin{array}{l}0,\qquad \; x\leq -10\\0,001x^3+1\; ,\; -10\ \textless \ x\leq 0\\1\; ,\; \qquad x\ \textgreater \ 0\end{array}\right$

$M(X)= \int\limits^{+\infty }_{-\infty } {x\cdot f(x)} \, dx = \int\limits^0_{-10} {x\cdot 0,003x^2} \, dx =0,003\cdot \frac{x^4}{4}\Big |_{-10}^0=\\\\=0,00075\cdot (0-(-10)^4)=-7,5$

$D(X)= \int\limits^{+\infty }_{-\infty } {x^2f(x)} \, dx -M^2(X)= \int\limits^0_{-10} {x^2\cdot 0,003x^2} \, dx -(-7,5)^2=\\\\=0,003\cdot \frac{x^5}{5}\Big |_{-10}^0-56,25= 0,0006\cdot (0-(-10)^5)-56,25=\\\\=60-56,25=3,75$

Answer 2

Для знаходження коефіцієнта c спершу потрібно визначити ймовірність того, що випадкова величина X знаходиться в певному інтервалі. Після цього ми зможемо побудувати функцію розподілу F(x) і обчислити математичне сподівання та дисперсію величини Y = ε(X) = -X + 4.

1. Знаходження коефіцієнта c: Для того щоб функція щільності була коректною ймовірнісною щільністю, інтеграл її по всьому простору повинен дорівнювати 1:

∫[з -10 до 0] cx^2 dx + ∫[з 0 до и] 0 dx = 1,

де [з -10 до 0] позначає інтегрування по інтервалу від -10 до 0, [з 0 до и] - по інтервалу від 0 до плюс нескінченності.

Це можна записати як:

c * (1/3) * x^3 |[з -10 до 0] = 1, 0 |[з 0 до и] = 1,

де (1/3) * x^3 - це невизначений інтеграл від x^2.

Підставляючи межі інтегрування, маємо:

c * (1/3) * 0^3 - c * (1/3) * (-10)^3 = 1, 0 - 0 = 1.

Отже, рівняння перше рівняння не виконується, і це означає, що неможливо знайти таке значення c, для якого функція щільності стає коректною ймовірнісною щільністю. Ймовірно, виникла помилка в постановці завдання або в наданому інтервалі.

Давайте продовжимо з тим, що надано. Якщо ми будемо вважати, що інтервали задані правильно, то потрібно виправити функцію щільності, наприклад, використовуючи наступну:

F(X) = cx^2 при x є (0, и 10) F(X) = 0 при x не належить (-10, и 0)

Далі ми можемо знайти значення c, обчислити функцію розподілу F(x) і знайти математичне сподівання та дисперсію для випадкової величини Y = ε(X) = -X + 4.