Question

У групі з 15 осіб 12 підтримують деяку урядову програму. З цієї групи навмання вибирають трьох осіб. Випадкова величина x – кількість осіб серед трьох відібраних, що підтримують програму. Знайти закон розподілу випадкової величини x , математичне сподівання Mx , дисперсію Dx і середньоквадратичне відхилен- ня sx .

Answer 1

Лучшее изображение будет в pdf, советую его открыть для начала.

Answer 2

Для знаходження закону розподілу випадкової величини x спочатку визначимо всі можливі комбінації, які можуть відбутися при виборі трьох осіб з групи з 15 осіб.

Всього можливих способів вибрати трьох осіб з 15 осіб: C(15, 3) = 455.

Тепер розглянемо можливі значення x (кількість осіб серед трьох відібраних, що підтримують програму):

x = 0: Це означає, що серед відібраних трьох осіб немає жодного, хто підтримує програму. Кількість способів вибрати такі 3 особи: C(3, 0) * C(12, 3) = 1 * 220 = 220.

x = 1: Це означає, що серед відібраних трьох осіб є рівно одна, хто підтримує програму. Кількість способів вибрати такі 3 особи: C(3, 1) * C(12, 2) = 3 * 66 = 198.

x = 2: Це означає, що серед відібраних трьох осіб є рівно двоє, хто підтримує програму. Кількість способів вибрати такі 3 особи: C(3, 2) * C(12, 1) = 3 * 12 = 36.

x = 3: Це означає, що серед відібраних трьох осіб усі троє підтримують програму. Кількість способів вибрати такі 3 особи: C(3, 3) * C(12, 0) = 1 * 1 = 1.

Тепер складемо таблицю імовірностей:

x	0	1	2	3
P(x)	220/455	198/455	36/455	1/455

Для знаходження математичного сподівання Mx використовуємо формулу:

Mx = Σ(xi * P(xi)),

де xi - значення випадкової величини, P(xi) - відповідна імовірність.

Mx = (0 * 220/455) + (1 * 198/455) + (2 * 36/455) + (3 * 1/455) = 0 + 0.8703 + 0.1582 + 0.0022 ≈ 1.0307.

Тепер знайдемо дисперсію Dx:

Dx = Σ((xi - Mx)^2 * P(xi)).

Dx = ((0 - 1.0307)^2 * 220/455) + ((1 - 1.0307)^2 * 198/455) + ((2 - 1.0307)^2 * 36/455) + ((3 - 1.0307)^2 * 1/455)

Dx = (1.0627^2 * 220/455) + (0.0307^2 * 198/455) + (0.9693^2 * 36/455) + (1.9693^2 * 1/455)

Dx = 0.6444 + 0.0027 + 0.0756 + 0.0086 ≈ 0.7313.

Нарешті, знайдемо середньоквадратичне відхилення sx:

sx = √Dx ≈ √0.7313 ≈ 0.8552.

Отже, закон розподілу випадкової величини x є:

x	0	1	2	3
P(x)	220/455	198/455	36/455	1/455

Математичне сподівання Mx ≈ 1.0307, Дисперсія Dx ≈ 0.7313, Середньоквадратичне відхилення sx ≈ 0.8552.