Question

Знайти радіус кривини та кривину кривої, яка задана рівнянням r(t)=t^2*i+e^(-t)*j+e^t*k

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Уравнение касательной
Y = Y'(Xo)*(x - Xo) + Y(Xo) = k*x + b.
Y'(x) = 7*x² - 4*x
Находим первообразную функцию
Y = (1/3)*(7x³) - (1/2)*(4x²) + C
Значение С найдем по координате точки А(1;-2). Х=1,У=-2.
С = (-2) - 7/3 - 2 = - 6 1/3
Записываем уравнение кривой
Y= \frac{7x^3-6x^2-19}{3} - ОТВЕТ

Answer 2

Для знаходження радіуса кривини (R) та кривини (k) кривої, заданої у параметричній формі r(t) = t^2*i + e^(-t)j + e^tk, спочатку потрібно знайти першу та другу похідні за відповідними параметрами.

1. Знайдемо першу похідну за параметром t: r'(t) = d/dt (t^2i + e^(-t)j + e^tk) = 2ti - e^(-t)j + e^tk

2. Знайдемо другу похідну за параметром t: r''(t) = d/dt (2ti - e^(-t)j + e^tk) = 2i + e^(-t)j + e^tk

Тепер можемо обчислити модуль вектора другої похідної, який представляє собою вектор прискорення нашої кривої:

|r''(t)| = √((2)^2 + (e^(-t))^2 + (e^t)^2) = √(4 + e^(-2t) + e^(2t))

Значення радіуса кривини (R) можна обчислити як обернене до модуля вектора прискорення:

R = 1 / |r''(t)| = 1 / √(4 + e^(-2t) + e^(2t))

На останок, кривину (k) можна знайти, розділивши модуль вектора прискорення на довжину вектора шляхової швидкості (|r'(t)|):

k = |r''(t)| / |r'(t)| = √(4 + e^(-2t) + e^(2t)) / √(4t^2 + e^(-2t) + e^(2t))

Тепер ми знаємо радіус кривини (R) та кривину (k) кривої, яка задана рівнянням r(t) = t^2*i + e^(-t)j + e^tk.