Question

Доказать , что при любом n ∈ N число A ∈ N , если          (6ⁿ)² + 12 · 6ⁿ + 32 A=                ÷            5 · 6ⁿ + 40

Answer 1

Преобразует , положим что 6^n+6=x , тогда A=(x^2-4)(5x+10)=(x-2)(x+2)/(5(x+2))=(x-2)/5=(6^n+4)/5
Докажем что 6^n+4 делится на 5 , так как 6^n делится на 5 с остатком 1, то есть представим в виде 6^n=5y+1, y-натуральное число , то A=(5y+1+4)/5=y+1 , значит A так же натуральное.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый шаг Для n = 1, выражение становится (6¹)² + 12 · 6¹ + 32 A = (36) + 72 + 32A = 108 + 32A. С другой стороны, (5 · 6¹ + 40) = (5 · 6 + 40) = 70. Значит, утверждение верно для n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, т.е. (6ᵏ)² + 12 · 6ᵏ + 32A = (5 · 6ᵏ + 40) для некоторого целого числа A.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение также верно для n = k + 1, используя предположение индукции.

Для n = k + 1, выражение становится: (6^(k+1))² + 12 · 6^(k+1) + 32A = (6ᵏ · 6)² + 12 · 6ᵏ · 6 + 32A = 36 · (6ᵏ)² + 72 · 6ᵏ + 32A = 36 · [(6ᵏ)² + 12 · 6ᵏ + 32A] + 36 · 6ᵏ = 36 · [(5 · 6ᵏ + 40)] + 36 · 6ᵏ (используем предположение индукции) = 36 · 5 · 6ᵏ + 36 · 40 + 36 · 6ᵏ = 180 · 6ᵏ + 144 + 36 · 6ᵏ = 216 · 6ᵏ + 144 = 36 · (5 · 6ᵏ + 4) + 144 = 36 · 5 · 6ᵏ + 36 · 4 + 144 = 180 · 6ᵏ + 144 = 5 · 6^(k+1) + 40.

Таким образом, утверждение верно и для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.