Question

Нужна помощь!!!!! Очень срочно. Интегралы ∫3 * cos^2 * (x/2) dx ∫x dx / √(3x^2 + 1)

Answer 1

$\displaystyle \int3\cos^2 \frac{x}{2} dx=3\int \frac{1+\cos x}{2}dx= \frac{3x}{2}+ \frac{3}{2}\sin x+C$

$\displaystyle \int\frac{xdx}{ \sqrt{3x^2+1} } = \frac{1}{3} \int \frac{d(3x^2+1)}{2 \sqrt{3x^2+1} } = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3x^2+1} +C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти интегралы. Давайте начнем с первого интеграла:

1. ∫3 * cos^2(x/2) dx

Для решения этого интеграла, воспользуемся формулой для тригонометрической функции cos^2(x):

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Затем заменим x на x/2:

cos^2(x/2) = (1 + cos(x)) / 2

Теперь интегрируем:

∫3 * cos^2(x/2) dx = 3 * ∫(1 + cos(x)) / 2 dx

Теперь найдем интегралы компонентов:

∫(1 + cos(x)) dx = x + sin(x) + C

Где C - произвольная постоянная. Теперь, вернемся к исходному интегралу:

3 * ∫(1 + cos(x)) / 2 dx = 3 * (x/2 + sin(x)/2) + C = (3x + 3sin(x))/2 + C

Таким образом, первый интеграл равен: (3x + 3sin(x))/2 + C

Теперь перейдем ко второму интегралу:

2. ∫x dx / √(3x^2 + 1)

Для решения этого интеграла, выполним замену u = 3x^2 + 1. Тогда du/dx = 6x, а dx = du / (6x). Подставим это в интеграл:

∫x dx / √(3x^2 + 1) = ∫(du / (6x)) * (1 / √u)

Теперь, разделим числитель и знаменатель интеграла на 6:

∫x dx / √(3x^2 + 1) = (1/6) ∫du / (x√u)

Далее, выполним замену v = √u, тогда dv/dx = (1/2√u) * du, а (1/2√u) * dv = du. Подставим это в интеграл:

(1/6) ∫du / (x√u) = (1/6) ∫(1/2v) dv

∫(1/2v) dv = v^2 / 2

Теперь вернемся к переменной u:

v^2 = u = 3x^2 + 1

Теперь, подставим u обратно:

∫x dx / √(3x^2 + 1) = (1/6) * (3x^2 + 1) + C

Таким образом, второй интеграл равен: (1/6) * (3x^2 + 1) + C

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, дайте знать!