Question

Биссектриса угла BAC пересекает высоту треугольника BH в точке K, BK:KH = 5:3. Найти радиус описанной окружности, если BC = 8

Answer 1

Биссектриса угла треугольника делит сторону, которую пересекает, в отношении прилежащих сторон.

⇒АВ:АН=ВК:КН=5:3 

Примем коэффициент отношения АВ:АН равным a.

Тогда по т.Пифагора 

BН=√(AB²-AH²)=√(25a²-9a²)=4a

sin∠ВАН=BH:AB=4a/5a=0,8

По т.синусов ВС:sin BAC=2R

2R=8:0,8=10⇒

R=5

Answer 2

Давайте обозначим следующие точки на рисунке:

• A: вершина треугольника.
• B: вторая вершина треугольника.
• C: третья вершина треугольника.
• H: основание перпендикуляра (высоты) из вершины B.
• K: точка пересечения биссектрисы угла BAC и высоты BH.

Из условия известно, что отношение BK к KH равно 5:3:

BK : KH = 5 : 3.

Также дано, что BC = 8.

Сначала давайте найдем длину отрезка BH с использованием того, что треугольник BKH подобен треугольнику ABC. Это происходит потому, что BH - это высота, проведенная из вершины B, и она перпендикулярна стороне AC. А биссектриса угла BAC делит противолежащую сторону AC на две части, пропорциональные боковым сторонам треугольника. Таким образом, у нас есть подобие треугольников BKH и ABC.

Пусть BH = x (мы пока не знаем конкретное значение).

Теперь, используя подобие треугольников, мы можем записать отношение длин:

BK / AC = KH / BH.

Подставляем известные значения:

5x / (8 + x) = 3x / BH.

Решаем это уравнение относительно BH:

5x * BH = 3x * (8 + x), 5x * BH = 24x + 3x^2, BH = (24x + 3x^2) / 5x, BH = 24/5 + 3x.

Теперь мы можем использовать теорему о высотах треугольника:

BH^2 + HC^2 = BC^2.

Подставляем известные значения:

(24/5 + 3x)^2 + HC^2 = 8^2, 576/25 + 144x/5 + 9x^2 + HC^2 = 64.

Теперь выразим HC^2:

HC^2 = 64 - 576/25 - 144x/5 - 9x^2, HC^2 = (1600 - 576 - 360x - 225x^2) / 25, HC^2 = (1024 - 585x - 225x^2) / 25.

Осталось выразить радиус описанной окружности R через длины сторон треугольника ABC:

R = AC / 2.

Мы знаем, что в треугольнике ABC:

AC = BH + HC, AC = 24/5 + 3x + √((1024 - 585x - 225x^2) / 25).

Теперь можем выразить радиус описанной окружности:

R = (24/5 + 3x + √((1024 - 585x - 225x^2) / 25)) / 2.

Окончательное выражение для радиуса описанной окружности зависит от значения x, которое можно найти, решив начальное уравнение BK : KH = 5 : 3. Подставьте значение x в это выражение, и вы найдете радиус описанной окружности.