Question

Докажите пожалуйста неравенство aв квадрате+10bв квадрате больше либо равно 6ab.

Answer 1

$a {}^{2} + 10b {}^{2} \geqslant 6ab \\ a {}^{2} + 10b {}^{2} - 6ab = a {}^{2} - 6ab + 9b {}^{2} - 9b { \\ }^{2$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нам необходимо использовать неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным двух чисел.

Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным для двух чисел a и b формулируется следующим образом:

$\frac{{a^2 + b^2}}{2} \geq \left(\frac{{a + b}}{2}\right)^2$

Применим это неравенство к выражению $a^2 + 10b^2$:

$\frac{{a^2 + 10b^2}}{2} \geq \left(\frac{{a + \sqrt{10} \cdot b}}{2}\right)^2$

Заметим, что согласно этому неравенству, выражение справа равно $\frac{{a^2 + 2ab\sqrt{10} + 10b^2}}{4}$.

Теперь докажем, что $a^2 + 10b^2 \geq 6ab$:

$a^2 + 10b^2 \geq 4 \cdot \frac{{a^2 + 2ab\sqrt{10} + 10b^2}}{4}$ $a^2 + 10b^2 \geq a^2 + 2ab\sqrt{10} + 10b^2$ $0 \geq 2ab\sqrt{10}$

Поскольку $a$ и $b$ считаем реальными числами, то $2ab \geq 0$ и $\sqrt{10} > 0$. Следовательно, выполняется неравенство $0 \geq 2ab\sqrt{10}$.

Таким образом, мы доказали, что $a^2 + 10b^2 \geq 6ab$, что и требовалось доказать.