Question

Исследовать функцию на наличие наклонных асимптот (подробное решение) y=((x-3)^2)/4(x-1)

Answer 1

$y=\frac{(x-3)^2}{4(x-1)}$

Наклонная асимптота:  $y=kx+b$  .

$k= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits _{ \to \infty}\frac{(x-3)^2}{4x(x-1)}=\frac{1}{4}\\\\b= \lim\limits _{x \to \infty}(f(x)-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{(x-3)^2}{4(x-1)}-\frac{x}{4})=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{(x-3)^2-x^2+x}{4(x-1)}=\\\\= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{-5x+9}{4x-4}=-\frac{5}{4}\\\\\boxed {y=\frac{x}{4}-\frac{5}{4}}\; \; naklonnaya\; asimptota$

2)  Вертикальная асимптота  x=x₀ : 

$x=x_0\; ,\; \; esli\; \; \lim\limits _{x \to x_0}\, f(x)=\infty \\\\\lim\limits _{x \to 1}\frac{(x-3)^2}{4(x-1)} = \lim\limits _{x \to 1}\frac{x^2-6x+9}{4x-4}= \lim\limits _{x \to 1}\frac{x^2}{4x}= \lim\limits _{x \to 1}\frac{x}{4}=\infty \\\\\boxed {x=1}\; \; vertikalnaya\; \; asimptota$

Answer 2

Для исследования функции на наличие наклонных асимптот, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти вертикальные асимптоты, если они есть.
2. Найти горизонтальные асимптоты, если они есть.
3. Найти наклонные асимптоты, если они есть.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен 4(x-1), и следовательно, вертикальная асимптота будет при x = 1. Однако, перед этим нужно проверить, нет ли отмены множителей, которые могут устранить вертикальную асимптоту. Выполним проверку:

4(x-1) = 0 x - 1 = 0 x = 1

Мы не можем устранить эту вертикальную асимптоту, так как (x-1) не является множителем числителя.

2. Теперь найдем горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты возникают в пределе x стремится к бесконечности или минус бесконечности. Для этого выполним следующие шаги:

x стремится к бесконечности: lim (x -> ∞) ((x-3)^2)/(4(x-1))

Для вычисления этого предела поделим каждый член числителя и знаменателя на x^2:

lim (x -> ∞) ((x^2 * (1 - 3/x))^2) / (4 * (x^2 * (1 - 1/x)))

Теперь устремим x к бесконечности:

lim (x -> ∞) ((x^2 * (1 - 3/x))^2) / (4 * (x^2 * (1 - 1/x)))

В числителе у нас получается (1 - 3/x)^2, а в знаменателе (1 - 1/x). Поскольку x стремится к бесконечности, 1/x стремится к нулю, и можно заменить эти части упрощением:

(1 - 3/x)^2 = (1 - 0)^2 = 1 (1 - 1/x) = (1 - 0) = 1

Теперь предел примет следующий вид:

lim (x -> ∞) (1^2) / (4 * 1) = 1/4

Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота y = 1/4.

x стремится к минус бесконечности: lim (x -> -∞) ((x-3)^2)/(4(x-1))

Проведем аналогичные шаги и получим тот же результат: горизонтальная асимптота y = 1/4.

3. Наклонных асимптотов у этой функции нет, так как степень числителя не превосходит степень знаменателя.

Таким образом, итоговый результат:

• Вертикальная асимптота: x = 1
• Горизонтальная асимптота: y = 1/4
• Наклонных асимптотов нет.