Question

ДАМ 40 БАЛЛОВ! Напишите теорему и доказательство о центре окружности, описанной около треугольника. (Доказательство желательно с Дано)

Answer 1

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. 

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности 

Доказательство: Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. 

Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Answer 2

Конечно! Вот теорема и доказательство о центре окружности, описанной около треугольника.

Теорема: Внешний центр окружности, описанной около треугольника, равноудален от вершин этого треугольника.

Доказательство:

Дано: Треугольник ABC и его описанная окружность с центром O.

1. Вспомним определение центра окружности: центр окружности - это точка, равноудаленная от всех точек этой окружности.

2. Пусть M - это точка пересечения перпендикуляров, проведенных из центра окружности O к сторонам треугольника ABC. Поскольку M - центр описанной окружности, MO равноудалено от вершин треугольника ABC.

3. Докажем, что MO перпендикулярно сторонам треугольника ABC. Предположим, что MO не перпендикулярно какой-либо стороне, скажем стороне AB. Тогда существует другая точка N на описанной окружности такая, что NO также перпендикулярно стороне AB. Однако это противоречит тому, что центр окружности должен быть единственной точкой, равноудаленной от всех точек окружности. Значит, MO перпендикулярно каждой из сторон треугольника.

4. Теперь рассмотрим сторону AB треугольника ABC. Пусть точка P - середина стороны AB. Так как MP перпендикулярно стороне AB, то MP - медиана треугольника ABC.

5. Аналогично, проведем медианы NQ и LR к сторонам BC и AC соответственно.

6. Так как точка пересечения медиан треугольника является его центром тяжести, то точка G - центр тяжести треугольника ABC.

7. Поскольку MO, NP, и LQ - это медианы треугольника ABC, то они пересекаются в его центре тяжести G.

8. Таким образом, MO, NP и LQ пересекаются в одной точке G, которая также является центром описанной окружности треугольника ABC.

9. Следовательно, центр окружности, описанной около треугольника ABC, равноудален от вершин этого треугольника.

Таким образом, теорема доказана.