Question

В классе 27 учеников. Самому старшему 15 лет, самому младшему самому младшему- 12. Каждый ученик изучает один иностранный язык либо немецкий, либо английский. Немецкий язык изучать не более трети класса, включая двух самых младших учеников. Ниже приведены занумерованные от 1) до 5) высказывания . Укажите номера всех ВЕРНЫХ высказываний: 1) средний возраст изучающих немецкий меньше изучающих английский; 2) хотя бы один ученик 14 лет изучает английский; 3) не менее двух учеников 12 лет изучают немецкий; 4) среди изучающих английский есть два ученика с разницей в возрасте менее 2 лет; 5) не менее 8 учеников изучают немецкий.

Answer 1

Из условия мы видим, что есть самый старший и самый младший, значит, один 12 лет, один-15 лет. Немецкий изучают также два самых младших. Но 12- летний один, значит, и 13- летний один. Остается, что 27-3=24 человека четырнадцатилетние. Немецкий изучают не более трети класса, значит, 23:3=9. Значит, 9 или меньше 9-ти. 1) при самой неудачной ситуации в немецкой группе максимально по одному человеку 12,13,15 лет и 6 человек 14 лет. (12+13+15+14*6):9= 13,77 средний возраст. А в английской будут только 14-летние. Ответ: ДА!! 2) ДА!! Выяснили выше, что большинство детей именно 14-летние. 3) НЕТ. В условии было сказано про самого младшего одного 12-летнего. (А не «самым младшим по 12 лет») 4) НЕТ. Мы не можем это утвержать, потому что, возможно, там только 14-летние. 5) НЕТ. По условию их может быть от 2 до 9-ти. Нотутвержать, что 8-нельзя, вдруг их 7? Итого: ВЕРНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ТОЛЬКО 1 и 2.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и проверим его.

1. Средний возраст изучающих немецкий меньше изучающих английский.

Допустим, у нас есть n учеников, изучающих немецкий, и m учеников, изучающих английский. Тогда средний возраст изучающих немецкий равен сумме возрастов всех учеников, изучающих немецкий, деленной на n, и аналогично средний возраст изучающих английский равен сумме возрастов всех учеников, изучающих английский, деленной на m.

Если средний возраст изучающих немецкий меньше среднего возраста изучающих английский, это означает, что сумма возрастов всех учеников, изучающих немецкий, меньше суммы возрастов всех учеников, изучающих английский. Теперь давайте рассмотрим возможные значения возрастов и количество учеников:

Минимальный возраст изучающих немецкий: 12 лет Максимальный возраст изучающих немецкий: 15 лет Минимальный возраст изучающих английский: 13 лет (так как два самых младших ученика изучают немецкий) Максимальный возраст изучающих английский: 15 лет

Посчитаем сумму возрастов для каждого языка: Сумма возрастов изучающих немецкий: 12 + 13 + 15 + ... + 15 (всего n учеников) Сумма возрастов изучающих английский: 15 + 15 + ... + 15 (всего m учеников)

Очевидно, что сумма возрастов изучающих немецкий будет больше или равна сумме возрастов изучающих английский, так как среди изучающих английский нет учеников младше 15 лет. Таким образом, утверждение 1) неверно.

2. Хотя бы один ученик 14 лет изучает английский.

У нас есть два ученика возрастом 14 лет, которые изучают немецкий. Ни один из них не изучает английский. Таким образом, утверждение 2) неверно.

3. Не менее двух учеников 12 лет изучают немецкий.

У нас есть два ученика возрастом 12 лет, которые изучают немецкий. Таким образом, утверждение 3) верно.

4. Среди изучающих английский есть два ученика с разницей в возрасте менее 2 лет.

Минимальный возраст изучающих английский: 13 лет (так как два самых младших ученика изучают немецкий). Максимальный возраст изучающих английский: 15 лет. Единственная возможная пара с разницей в возрасте менее 2 лет - это ученики возрастом 13 и 14 лет. У нас есть такая пара. Таким образом, утверждение 4) верно.

5. Не менее 8 учеников изучают немецкий.

Максимальное количество учеников, которые могут изучать немецкий, равно трети класса, т.е., 27 / 3 = 9 учеников. Мы уже знаем, что два ученика изучают немецкий и возраст учеников изучающих немецкий составляет 12, 13 и 15 лет. Из этого следует, что не менее 8 учеников изучают немецкий. Таким образом, утверждение 5) верно.

Итак, верные утверждения: 3) и 5).