Question

Теория вероятности. Только с подробным решением. Из коробки, в которой находится 3 красных, 4 черных и 5 синих карандашей, выпало 3 карандаша. - а) Найти вероятность того, что выпали 3 черных карандаша. - б) Найти вероятность того, что среди выпавших карандашей нет красных или нет синих.

Answer 1

А)
всего в коробке находится
3+4+5=12 карандашей
следовательно вероятность выпадения одного черного карандаша будет равна 4/12=1/3
тогда вероятность выпадения трех черных карандашей будет равна
1/3*1/3*1/3=1/27

б)
вероятность выпадения красного карандаша равна 3/12=1/4
тогда вероятность невыпадения будет равна 1-1/4=3/4
вероятность того, что среди выпавших карандашей не будет ни одного красного будет равна
3/4*3/4*3/4=27/64

вероятность выпадения синего карандаша равна 5/12
тогда вероятность невыпадения равна 1-5/12=7/12
вероятность того, среди выпавших не будут ни одного синего будет равна
7/12*7/12*7/12*7/12*7/12=16807/248832

Answer 2

Для решения данных задач, воспользуемся формулой вероятности:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$

где:

• $P(A)$ - вероятность события $A$,
• $n(A)$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$,
• $n(S)$ - число всех возможных исходов (пространство элементарных событий).

а) Найдем вероятность того, что выпали 3 черных карандаша:

1. Найдем число исходов, благоприятствующих событию $A$ (выпали 3 черных карандаша). Всего у нас 4 черных карандаша, и мы должны вытащить 3 из них:

$n(A) = C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$

2. Найдем число всех возможных исходов (пространство элементарных событий $n(S)$). Всего у нас 12 карандашей (3 красных + 4 черных + 5 синих), и мы должны вытащить 3 карандаша:

$n(S) = C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$

3. Теперь можем найти вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{220} = \frac{1}{55}$

Ответ: вероятность того, что выпали 3 черных карандаша, составляет $\frac{1}{55}$.

б) Найдем вероятность того, что среди выпавших карандашей нет красных или нет синих.

Посчитаем вероятность отрицания этого события (то есть вероятность того, что выпал хотя бы один красный или хотя бы один синий карандаш). Затем вычтем эту вероятность из 1, чтобы получить вероятность исходного события.

1. Найдем число исходов, благоприятствующих отрицанию события $A$ (выпал хотя бы один красный или хотя бы один синий карандаш). Всего у нас 3 красных + 5 синих карандашей, и мы должны вытащить 3 карандаша:

$n(\text{отрицание } A) = C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

2. Теперь можем найти вероятность отрицания события $A$:

$P(\text{отрицание } A) = \frac{n(\text{отрицание } A)}{n(S)} = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$

3. Теперь найдем вероятность исходного события (что среди выпавших карандашей нет красных или нет синих):

$P(A) = 1 - P(\text{отрицание } A) = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55}$

Ответ: вероятность того, что среди выпавших карандашей нет красных или нет синих, составляет $\frac{41}{55}$.