Question

Найти область определения функции у=lg(4x2+11x)

Answer 1

у=lg(4x²+11x)

ООФ:  4х²+11х>0          + + +                 - - - - -              + + + + 

               х(4х+11)>0   -----------(-11/4)------------(0)---------------- 

х∈(-∞, -11/4)∨(0,+∞)

 

Answer 2

Для того чтобы найти область определения функции у = lg(4x^2 + 11x), нужно определить значения переменной x, при которых функция определена.

Выражение внутри логарифма должно быть больше нуля, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не определен в действительных числах.

Условие для области определения: 4x^2 + 11x > 0

Для решения неравенства, найдем корни уравнения 4x^2 + 11x = 0, которые будут точками разрыва функции:

4x^2 + 11x = 0

Находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac D = 11^2 - 4 * 4 * 0 D = 121

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня:

x1 = (-b + √D) / 2a x1 = (-11 + √121) / (2 * 4) x1 = (-11 + 11) / 8 x1 = 0 / 8 x1 = 0

x2 = (-b - √D) / 2a x2 = (-11 - √121) / (2 * 4) x2 = (-11 - 11) / 8 x2 = -22 / 8 x2 = -11 / 4

Таким образом, у функции есть две точки разрыва: x = 0 и x = -11/4.

Теперь выясним, в каких интервалах функция положительна:

1. Возьмем произвольную точку из первого интервала (-бесконечность, -11/4): Например, x = -5. Подставим x = -5 в неравенство:

4x^2 + 11x > 0 4*(-5)^2 + 11*(-5) > 0 4*25 - 55 > 0 100 - 55 > 0 45 > 0

Таким образом, на интервале (-∞, -11/4) функция положительна.

2. Возьмем произвольную точку из второго интервала (-11/4, 0): Например, x = -1. Подставим x = -1 в неравенство:

4x^2 + 11x > 0 4*(-1)^2 + 11*(-1) > 0 4*1 - 11 > 0 4 - 11 < 0 -7 < 0

Таким образом, на интервале (-11/4, 0) функция отрицательна.

3. Возьмем произвольную точку из третьего интервала (0, +бесконечность): Например, x = 1. Подставим x = 1 в неравенство:

4x^2 + 11x > 0 41^2 + 111 > 0 4 + 11 > 0 15 > 0

Таким образом, на интервале (0, +∞) функция положительна.

Таким образом, область определения функции у = lg(4x^2 + 11x) составляет объединение интервалов, где функция определена и положительна:

(-∞, -11/4) и (0, +∞)