Question

Дифференциальное уравнение: y''+4y'=-2xe^-4x Помогите пожалуйста решить:)

Answer 1

Решение дифф. уравнения на 2 листах

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем частное решение неоднородной части.

Дифференциальное уравнение: y'' + 4y' = -2xe^(-4x)

Шаг 1: Найдем общее решение однородной части уравнения.

Однородная часть уравнения имеет вид: y'' + 4y' = 0

Для решения однородного уравнения, предположим, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

y'' + 4y' = 0 (r^2e^(rt)) + 4(re^(rt)) = 0 e^(rt)(r^2 + 4r) = 0

Так как e^(rt) не равно нулю для любого t, то уравнение (r^2 + 4r) = 0 должно быть равно нулю:

r^2 + 4r = 0

Решим квадратное уравнение относительно r: r(r + 4) = 0

Таким образом, получаем два корня: r1 = 0 r2 = -4

Общее решение однородной части уравнения имеет вид: y_h(t) = C1e^(0t) + C2e^(-4t) y_h(t) = C1 + C2e^(-4t), где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородной части уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = (Ax + B)e^(-4x), где A и B - неизвестные коэффициенты.

Подставим это предположение в уравнение:

y_p'' + 4y_p' = -2xe^(-4x) [(Ae^(-4x))'' + 4(Ae^(-4x))'] + 4(Ae^(-4x)) = -2xe^(-4x)

Выполним необходимые дифференцирования и упростим уравнение:

(Ae^(-4x))'' = A(-16e^(-4x)) (Ae^(-4x))' = -4Ae^(-4x)

Подставим эти значения обратно в уравнение:

-16Ae^(-4x) + 4(-4Ae^(-4x)) + 4Ae^(-4x) = -2xe^(-4x)

-16Ae^(-4x) - 16Ae^(-4x) + 4Ae^(-4x) = -2xe^(-4x)

-28Ae^(-4x) = -2xe^(-4x)

A = 1/14

Таким образом, мы нашли значение A.

Шаг 3: Построим частное решение:

y_p(x) = (Ax + B)e^(-4x) = (1/14)x + B)e^(-4x)

Шаг 4: Найдем общее решение всего уравнения.

Общее решение всего уравнения y(x) = y_h(x) + y_p(x) будет равно:

y(x) = C1 + C2e^(-4x) + (1/14)x + B)e^(-4x)

Где С1, С2 и B - произвольные постоянные, которые можно найти из начальных условий или дополнительных условий задачи.