Question

Помогите решить. Lim x—>0 (arcsin2x/tg4x)

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного предела, можно воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет найти пределы неопределенных выражений вида 0/0 или ∞/∞. Применим его к данной задаче:

Правило Лопиталя гласит, что если предел функций f(x) и g(x) равен 0/0 или ∞/∞ при x → a, и предел отношения их производных f'(x) / g'(x) существует при x → a, то предел отношения f(x) / g(x) при x → a равен тому же значению.

Дано: lim x→0 (arcsin(2x) / tan(4x))

Первым шагом найдем производные функций arcsin(2x) и tan(4x):

d/dx (arcsin(2x)) = 1 / sqrt(1 - (2x)^2) = 1 / sqrt(1 - 4x^2)

d/dx (tan(4x)) = 4 / (cos^2(4x))

Теперь найдем предел отношения производных при x → 0:

lim x→0 (1 / sqrt(1 - 4x^2)) / (4 / (cos^2(4x))) Подставим x=0 в числитель и знаменатель:

1 / sqrt(1 - 40^2) = 1 4 / (cos^2(40)) = 4 / (cos^2(0)) = 4 / 1 = 4

Теперь вычислим предел отношения производных:

lim x→0 (1 / sqrt(1 - 4x^2)) / (4 / (cos^2(4x))) = 1 / 4

Таким образом, предел исходной функции lim x→0 (arcsin(2x) / tan(4x)) равен 1 / 4.