Question

Решите плизз) даю 100 баллов. Решить уравнения: y’+cos(x+2y)=cos(x-2y); y(0)=π/4

Answer 1

Решение диф. уравнения на 2-х фотографиях

Answer 2

Спасибо за предоставленные баллы! Я с радостью помогу вам решить данное дифференциальное уравнение.

Дано дифференциальное уравнение: y' + cos(x + 2y) = cos(x - 2y)

Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных. Сначала разделим уравнение на cos(x + 2y):

y'/cos(x + 2y) + 1 = cos(x - 2y)/cos(x + 2y)

Теперь введем новую переменную u = x + 2y:

dy/dx = du/dx - 2 cos(u) = cos(x - 2y)/cos(x + 2y)

Подставим новые переменные в уравнение:

(du/dx - 2)/cos(u) + 1 = cos(u)/cos(u)

Теперь упростим уравнение:

du/dx - 2 + cos(u) = 1

Теперь получили обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем все, что содержит u, в одну часть, а константы в другую:

du/dx - cos(u) = 3

Теперь решим это линейное дифференциальное уравнение. Применим метод интегрирующего множителя. Множитель равен exp(∫(-1)dx) = exp(-x):

exp(-x) * (du/dx) - exp(-x) * cos(u) = 3 * exp(-x)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫(exp(-x) * (du/dx)) dx - ∫(exp(-x) * cos(u)) dx = ∫(3 * exp(-x)) dx

Интегрирование дает нам:

exp(-x) * u - ∫(exp(-x) * cos(u)) dx = -3 * exp(-x) + C1

Теперь нужно решить интеграл ∫(exp(-x) * cos(u)) dx. Для этого воспользуемся интегрированием по частям:

∫(exp(-x) * cos(u)) dx = exp(-x) * sin(u) - ∫(exp(-x) * sin(u)) dx

Теперь вставим это обратно в наше уравнение:

exp(-x) * u - (exp(-x) * sin(u) - ∫(exp(-x) * sin(u)) dx) = -3 * exp(-x) + C1

Упростим:

exp(-x) * u + exp(-x) * sin(u) - ∫(exp(-x) * sin(u)) dx = -3 * exp(-x) + C1

Теперь обратим внимание на интеграл ∫(exp(-x) * sin(u)) dx. Это опять интегрирование по частям:

∫(exp(-x) * sin(u)) dx = -exp(-x) * cos(u) - ∫(-exp(-x) * cos(u)) dx

Теперь вставим это обратно в уравнение:

exp(-x) * u + exp(-x) * sin(u) - (-exp(-x) * cos(u) - ∫(-exp(-x) * cos(u)) dx) = -3 * exp(-x) + C1

Упростим:

exp(-x) * u + exp(-x) * sin(u) + exp(-x) * cos(u) + ∫(exp(-x) * cos(u)) dx = -3 * exp(-x) + C1

Обратите внимание, что интеграл ∫(exp(-x) * cos(u)) dx снова встречается в левой части уравнения. Теперь вычтем его из обеих частей:

exp(-x) * u + exp(-x) * sin(u) + exp(-x) * cos(u) = -2 * exp(-x) + C1

Теперь разделим обе части на exp(-x):

u + sin(u) + cos(u) = -2 + C1 * exp(x)

Теперь вернемся к исходным переменным:

u = x + 2y

sin(u) = sin(x + 2y)

cos(u) = cos(x + 2y)

Теперь подставим их в уравнение:

x + 2y + sin(x + 2y) + cos(x + 2y) = -2 + C1 * exp(x)

Теперь решим начальное условие y(0) = π/4:

x = 0:

0 + 2y + sin(0 + 2y) + cos(0 + 2y) = -2 + C1 * exp(0)

2y + sin(2y) + cos(2y) = -2 + C1

На данный момент у нас осталась одна неизвестная константа C1, которую можно найти, используя начальное условие.

y = π/4:

2 * (π/4) + sin(2 * π/4) + cos(2 * π/4) = -2 + C1

π/2 + sin(π/2) + cos(π/2) = -2 + C1

π/2 + 1 + 0 = -2 + C1

C1 = π/2 + 1 + 2 = π/2 + 3

Таким образом, мы нашли значение C1. Теперь окончательное решение уравнения:

x + 2y + sin(x + 2y) + cos(x + 2y) = -2 + (π/2 + 3) * exp(x)

Это является окончательным ответом. Если у вас есть какие-либо вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, дайте знать!