Question

Найдите угол между прямыми х+4y+11=0 и 5x+3y-12=0.

Answer 1

Формула для нахождения угла между прямыми на плоскости:
$tg \alpha = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}|$

$x+4y+11=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5x+3y-12=0\\y= \frac{-x-11}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{-5x+12}{3}\\y= -\frac{x}{4}- \frac{11}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y= -\frac{5x}{3}+ 4\\k_1= -\frac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_2= -\frac{5}{3}\\\\tg \alpha = |\frac{ -\frac{5}{3}+ \frac{1}{4} }{1-\frac{5}{12} }|= | -\frac{17}{12}* \frac{12}{17}|=1\\ \alpha = \frac{ \pi }{4}=45$

Answer 2

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными уравнениями вида ax + by + c = 0, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите направляющие векторы для каждой из прямых.
2. Найдите угол между векторами используя формулу для косинуса угла между векторами.

Шаг 1: Направляющие векторы Направляющие векторы для данных прямых можно найти из коэффициентов x и y при переменных x и y в уравнениях прямых.

Для первой прямой х + 4у + 11 = 0: Уравнение вектора: v1 = (1, 4)

Для второй прямой 5х + 3у - 12 = 0: Уравнение вектора: v2 = (5, 3)

Шаг 2: Найдите угол между векторами Угол между двумя векторами a и b можно найти с помощью следующей формулы:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||),

где а · b представляет скалярное произведение векторов a и b, а ||a|| и ||b|| представляют длины этих векторов.

Длина вектора (x, y) вычисляется как ||(x, y)|| = √(x^2 + y^2).

Теперь рассчитаем угол:

cos(θ) = (v1 · v2) / (||v1|| * ||v2||) cos(θ) = ((1 * 5) + (4 * 3)) / (√(1^2 + 4^2) * √(5^2 + 3^2)) cos(θ) = (5 + 12) / (√17 * √34) cos(θ) = 17 / (√(17 * 34)) cos(θ) ≈ 17 / 7.071 ≈ 0.3981

Теперь найдем значение угла θ:

θ = arccos(cos(θ)) θ = arccos(0.3981) θ ≈ 66.35°

Таким образом, угол между прямыми равен примерно 66.35°.