Question

Вычислить длину дуги кривой y=√(5*(x^3)) в пределах от x=0 до x=1 Помогите пожалуйста через интеграл решить

Answer 1

$y=\sqrt{5x^3}\; ,\; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=1\\\\l= \int\limits^{b}_{a}\sqrt{1+(y')^2}\, dx\\\\y'=(\sqrt5\cdot x^{3/2})'=\sqrt5\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{1/2}\\\\1+(y')^2=1+\frac{5\cdot 9}{4}\cdot x=1+ \frac{45}{4}\cdot x\\\\l= \int\limits^1_0\sqrt{1+\frac{45}{4}\cdot x}\, dx=\frac{4}{45}\cdot \frac{2\cdot (1+\frac{45}{4}\cdot x)^{\frac{3}{2}}}{3}\Big |_0^1=\frac{8}{135}\cdot (1+\frac{45}{4}-1)=\frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления длины дуги кривой y = √(5x^3) на интервале от x = 0 до x = 1, мы можем использовать формулу для длины дуги кривой:

L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx

где a и b - это начальная и конечная точки на оси x, а dy/dx - производная функции y по x.

Сначала найдем производную функции y = √(5x^3):

dy/dx = d/dx (5x^3)^(1/2) dy/dx = (1/2) * 5 * x^(3-1/2) dy/dx = (5/2) * x^(1/2)

Теперь подставим dy/dx в формулу для длины дуги:

L = ∫[0, 1] √(1 + ((5/2) * x^(1/2))^2) dx L = ∫[0, 1] √(1 + (25/4) * x) dx

Теперь проинтегрируем выражение:

L = ∫[0, 1] √(1 + (25/4) * x) dx L = ∫[0, 1] √(4/4 + (25/4) * x) dx L = ∫[0, 1] √((4 + 25x) / 4) dx L = (1/2) ∫[0, 1] √(4 + 25x) dx

Для интегрирования выражения √(4 + 25x) нам понадобится замена переменных. Пусть u = 4 + 25x, тогда du/dx = 25, и dx = du/25. Тогда:

L = (1/2) ∫[0, 1] √u * (1/25) du L = (1/50) ∫[0, 1] √u du L = (1/50) * (2/3) * (u^(3/2)) |[0, 1] L = (1/75) * (1^(3/2) - 0^(3/2)) L = 1/75

Таким образом, длина дуги кривой y = √(5x^3) на интервале от x = 0 до x = 1 равна 1/75.