Question

Стороны треугольника 3 см и 4 см , угол между ними α. а) Выразите площадь треугольника S в виде функции от α, назовите область определения. б) Нарисуйте график функции S в) Назовите в каких границах может меняться площадь треугольника. г) Оцените утверждение : "Каждому значению площадь S отвечает одно и только одно значение угла α".

Answer 1

А)

S = 0,5 * a * b * sinα

S(α) = 0,5 * 3 * 4 * sinα = 6sinα, α∈(0; π)

в) т.к. a ∈ (0; π); то sinα ∈ (0; 1]

S(α) ∈ (0; 6]

г) не верно, т.к. для углов β = (180° - α) площадь будет такой же

б) в файле

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

а) Площадь треугольника S можно выразить в виде функции от α следующим образом:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

где: $a = 3$ см - длина одной стороны треугольника, $b = 4$ см - длина другой стороны треугольника, $\alpha$ - угол между этими сторонами в радианах.

Область определения функции: $0 < \alpha < \pi$ (поскольку угол не может быть отрицательным и больше 180 градусов).

б) Для построения графика функции S от α, нам нужно подставить различные значения угла α в интервале $0 < \alpha < \pi$ в формулу площади и построить соответствующие точки на графике.

в) Границы, в которых может меняться площадь треугольника:

$S_{\text{min}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(0) = 0$ (минимальная площадь, которая достигается, когда угол α равен 0 градусов, то есть треугольник вырождается в отрезок), $S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(\pi) = 0$ (максимальная площадь, которая достигается, когда угол α равен 180 градусов, то есть треугольник вырождается в отрезок).

г) Утверждение "Каждому значению площадь S отвечает одно и только одно значение угла α" верно в рамках интервала $0 < \alpha < \pi$, так как синус является строго возрастающей функцией в этом интервале. Это означает, что различным значениям угла α соответствуют различные значения площади S, и нет двух разных углов α, которые давали бы одинаковую площадь треугольника. Однако стоит отметить, что при α = 0 и α = π (0 градусов и 180 градусов) площадь будет равна 0, поскольку треугольник вырождается в отрезок.