Question

4)Какими свойствами обладает функция у= хn, n ∈ N, если: а) n – четное число; б) n – нечетное число? 5) Какими свойствами обладает функция у= х-n, n ∈ N, если: а) n – четное число; б) n – нечетное число?

Answer 1

F₁=xn; f₂=x-n
При любом n ∈ N f₁ и f₂ биективны; не периодичны; не чётны и не нечётны; D(f₁)=D(f₂)=R=E(f₁)=E(f₂); монотонно возрастают на всей области определения; не ограничены; являются линиями первого порядка; f₁(0)=0; f₂(n)=0; f₂(0)=-n

Answer 2

1. Функция у = х^n, где n ∈ N, представляет собой функцию возведения в степень, где основание (х) может быть любым числом, а показатель степени (n) является натуральным числом.

а) Если n – четное число:

• График функции будет симметричным относительно оси y (ось ординат).
• Если х < 0, то у такой функции определена для всех действительных чисел (у = х^n).
• Если х ≥ 0, то у такой функции определена только для неотрицательных значений х (у = |х|^n).

б) Если n – нечетное число:

• График функции будет иметь форму "насквозь проходящей" прямой, т.е., если х < 0, у = -|х|^n, а если х ≥ 0, у = х^n.
• Функция всегда будет определена для всех действительных значений х.

2. Функция у = х^(-n), где n ∈ N, представляет собой функцию, возводящую основание х в отрицательную степень.

а) Если n – четное число:

• Если х ≠ 0, то у такой функции определена для всех действительных чисел, за исключением х = 0 (т.к. деление на ноль не определено в математике).
• График функции будет симметричным относительно оси y (ось ординат).
• Если х > 0, то у = х^(-n) будет положительной функцией.
• Если х < 0, то у = х^(-n) будет отрицательной функцией.

б) Если n – нечетное число:

• Функция у = х^(-n) всегда будет определена для всех действительных значений х, включая х = 0.
• График функции не будет иметь особой симметрии.
• Если х > 0, то у = х^(-n) будет положительной функцией.
• Если х < 0, то у = х^(-n) будет отрицательной функцией.

Обратите внимание, что в обоих случаях у функции y = х^(-n) может быть асимптота при х = 0, в зависимости от значения n (чем больше n, тем ближе функция подходит к оси ординат при приближении х к 0).