Question

Решите уравнение: 2sin^4(x)+3cos2x+1=0

Answer 1

2sin⁴x+3cos2x+1=0
2*(sin²x)²+3*(2cos²x-1)+1=0
2*(1-cos²x)²+6cos²x-3+1=0
2*(1-2cos²x+cos⁴x)+6cos²x-2=0
2cos⁴x+2cos²x=0, 2cos²x*(cos²x+1)=0
2cos²x=0 или cos²x+1=0
решений нет

ответ:∈Z 

Answer 2

Для решения уравнения 2sin^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0, давайте выполним несколько шагов.

1. Заменим cos(2x) с помощью тригонометрической формулы: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).
2. Подставим эту замену в уравнение:

2sin^4(x) + 3(1 - 2sin^2(x)) + 1 = 0.

3. Упростим уравнение:

2sin^4(x) - 6sin^2(x) + 4 = 0.

4. Выразим sin^2(x) через новую переменную, например, t = sin^2(x):

2t^2 - 6t + 4 = 0.

5. Решим полученное квадратное уравнение:

Используя дискриминант (D = b^2 - 4ac), получим:

D = (-6)^2 - 4 * 2 * 4 = 36 - 32 = 4.

Так как D > 0, у нас два действительных корня.

t = ( -b ± √D ) / (2a) = ( 6 ± √4 ) / (2 * 2) = (6 ± 2) / 4.

Таким образом, получаем два значения t:

1. t1 = (6 + 2) / 4 = 8 / 4 = 2.
2. t2 = (6 - 2) / 4 = 4 / 4 = 1.

6. Теперь найдем sin(x) из полученных значений t:

a) Для t1 = 2: sin^2(x) = 2. Так как sin^2(x) не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений для данного значения t.

b) Для t2 = 1: sin^2(x) = 1. Тогда sin(x) = ±√1 = ±1.

Таким образом, у нас два решения для sin(x):

sin(x) = 1 и sin(x) = -1.

7. Найдем x:

a) Для sin(x) = 1: x = arcsin(1) = π/2 + 2πk, где k - целое число.

b) Для sin(x) = -1: x = arcsin(-1) = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

x = π/2 + 2πk и x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.