Question

Метод гаусса X+y-z=0 X-y+z=4 -x+y+z=2

Answer 1

Перепишем данную систему в виде полной матрицы
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\1&-1&1&4\\-1&1&1&2\end{array}\right]$
Преобразуем эту матрицу с помощью арифметических операций (умножение строк на число, сложение и вычитание строк) к матрице, у которой по главной диагонали будут стоять единицы.
I. Прямой ход метода Гаусса.
1) Из второй строки вычитаем первую (записываем вместо 2 строки); к третьей строке прибавляем первую строку (записываем вместо 3 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\1&-1&1&4\\-1&1&1&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&-2&2&4\\0&2&0&2\end{array}\right]$

2) Делим вторую строку на -2; из третье строки вычитаем вторую строку, умноженную на 2 (записываем вместо 3 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&-2&2&4\\0&2&0&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&2&6\end{array}\right]$

3) Делим третью строку на 2.
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&2&6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&1&3\end{array}\right]$

II. Обратный ход метода Гаусса.
1) К первой строке прибавляем третью (записываем на место 1 строки); ко второй строке прибавляем третью (записываем на место 2 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&1&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right]$

2) Из первой строки вычитаем вторую (записываем на место 1 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right]$

Итак, перепишем получившуюся матрицу, как систему уравнений и получим:
x = 2;
y = 1;
z = 3.
Ответ:(2;1;3) 

Answer 2

1 1 -1   0
1-1  1   4
-11  1   2

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 1

1  1-1   0
0 -2 2   4
0  2 0   2

2-ую строку делим на -2
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2

1  0  0   2
0  1 -1   -2
0  0  2   6

3-ую строку делим на 2  к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1

1  0  0    2
0  1  0    1
0  0  1    3   x=2   y=1  z=3

Answer 3

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, мы сначала приведем ее к матричному виду и затем применим элементарные преобразования строк матрицы для нахождения решения.

Систему уравнений можно представить в матричном виде:

Copy code
| 1  1 -1 |   | x |   | 0 |
| 1 -1  1 | * | y | = | 4 |
|-1  1  1 |   | z |   | 2 |

Теперь применим элементарные преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду (или, если возможно, к улучшенному ступенчатому виду):

1. Вычтем первую строку из всех остальных строк:

Copy code
| 1  1 -1 |   | x |   | 0 |
| 0 -2  2 | * | y | = | 4 |
| 0  2  0 |   | z |   | 2 |

2. Разделим вторую строку на -2:

Copy code
| 1  1 -1 |   | x |   | 0 |
| 0  1 -1 | * | y | = | -2 |
| 0  2  0 |   | z |   | 2 |

3. Вычтем вторую строку, умноженную на 2, из третьей строки:

Copy code
| 1  1 -1 |   | x |   | 0 |
| 0  1 -1 | * | y | = | -2 |
| 0  0  2 |   | z |   | 4 |

4. Разделим третью строку на 2:

Copy code
| 1  1 -1 |   | x |   | 0 |
| 0  1 -1 | * | y | = | -2 |
| 0  0  1 |   | z |   | 2 |

Теперь у нас есть матрица в ступенчатом виде. Для получения решения системы обратимся к уравнениям:

javascriptCopy code
z = 2
y - z = -2   =>   y = -2 + z   =>   y = -2 + 2   =>   y = 0
x + y - z = 0   =>   x = -y + z   =>   x = -0 + 2   =>   x = 2

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса:

x = 2 y = 0 z = 2